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Exercice 1 Traductions
Dans cet exercice,f désigne une fonction définie sur un intervalleI deR, à valeurs dansR.
– Lire les propositions et les interpréter en donnant, si possible, la propriété vérifiée parf : 1. ∃C∈R, ∀x∈I, f(x) =C.
2. ∀y∈R,∃x∈I, f(x) =y.
3. ∀x, y∈I, (x≤y⇒f(x)≤f(y)).
– Exprimer à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes : 1. La fonctionf s’annule.
2. La fonctionf est la fonction nulle.
3. La fonctionf n’est pas une fonction constante.
4. La fonctionf présente un minimum surI.
Exercice 2 Négations
SoitIun intervalle deRetf :I→Rune fonction définie surIà valeurs réelles. Exprimer les négations des assertions suivantes :
1. ∀x∈E,(P(x)⇒Q(x)) 2. ∃x∈E,(P(x)et Q(x)).
3. ∀x∈E,(P(x)ouQ(x)).
4. ∀x∈I,f(x)6= 0.
5. ∀y∈R,∃x∈I,f(x) =y.
6. ∃M ∈R,∀x∈I,|f(x)| ≤M. 7. ∀x, y∈I,(x≤y⇒f(x)≤f(y)).
Exercice 3 Quizz
Déterminer si les assertions suivantes sont vraies ou fausses (en le démontrant) :
1. Pour qu’un réel soit strictement supérieur à 3, il suffit qu’il soit strictement supérieur à 4.
2. Pour qu’un réel soit strictement supérieur à 3, il faut qu’il soit différent de2.
3. Une condition suffisante pour qu’un réel soit supérieur ou égal à 2, est qu’il soit supérieur ou égal à 3.
4. Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier naturel soit strictement supérieur à 2 est qu’il soit supérieur ou égal à 4.
5. Quantifier xet y dans la propriétéx2+y = 0 de toutes les façons possibles et déterminer parmi les propriétés obtenues lesquelles sont vraies.
Exercice 4 Propositions
1. Soitz∈C. Montrer (∀ε≥0,|z| ≤ε)⇒z= 0.
2. Montrer ∀z∈C,((∀ε >0, |z|< ε)⇒z= 0).
3. Comparer avec la proposition :∀z∈C,∀ε >0,(|z|< ε⇒z= 0).
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Exercice 5 Quizz
Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont vraies ? 1.
n
X
i=1
(α+ai) =α+
n
X
i=1
ai
2.
n
X
i=1
(ai+bi) =
n
X
i=1
ai+
n
X
i=1
bi
3.
n
X
i=1
(αai) =α
n
X
i=1
ai
4.
n
X
i=1
(aibi) =
n
X
i=1
ai
! n X
i=1
bi
!
5.
n
Y
i=1
(aibi) =
n
Y
i=1
ai
! n Y
i=1
bi
!
6.
n
Y
i=1
(αai) =α
n
Y
i=1
ai
Exercice 6 Calculs 1. Calculer
n
X
k=0
√ 1 k+√
k+ 1 2. Calculer
n
X
k=0
(2k+ 1)
3. Calculer1.n+ 2.(n−1) +. . .+ (n−1).2 +n.1 4. Calculer
n
Y
k=1
1 +1
k
.
5. Calculer
n
Y
k=1
1 +x2k .
6. Exprimer 2×4×. . .×(2n)et1×3×. . .×(2n+ 1)à l’aide de factorielles.
7. Etablir
n
Y
k=1
(4k−2) =
n
Y
k=1
(n+k) 8. Calculer X
1≤i,j≤n
inf(i, j)et X
1≤i,j≤n
sup(i, j).
9. Calculercos π9
cos 2π9
cos 3π9 10. Calculer
n
X
k=0
sin(kx)et
n
X
k=0
sin((2k+ 1)x)
11. Calculer
n
X
k=0
cos(x+kα)
12. Calculer la somme des ordonnées des sommets d’un polygone régulier tracé sur le cercle unité.
Exercice 7 Une formule d’Euler (1755)
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En utilisant50 = 2.52= 72+ 1 et la fonction(1−x)−1/2, établir
√ 2 = 7
5
1 + 1
100 + 1·3
100·200+ 1·3·5
100·200·300+. . .
Que dire de la valeur numérique obtenue avec les cinq premiers termes ? Exercice 8 Inégalité de Bernoulli (Jacob Bernoulli - 1689)
Par récurrence sur l’entier natureln, montrer 1. ∀a∈R,a≥ −1⇒(1 +a)n ≥1 +na
2. ∀a∈R,(0< a <1et n≥2)⇒1−na <(1−a)n< 1+na1 .
3. En posant an = (1 + 1/n)n et bn = (1 + 1/n)n+1, montrera1 < a2 < a3 < . . . < e < . . . < b3<
b2< b1 etbn−an≤4/n.
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