MPSI B DM 1 29 juin 2019
Exercice 1. Noyaux de Dirichlet et de Féjer
Pour n entier naturel supérieur ou égal 1 et θ réel, on pose 1 D n (θ) =
n−1
X
k=−n+1
e ikθ F n (θ) = 1 n
n
X
j=1
D j (θ)
1. Sans chercher à calculer D n , montrer que F n (θ) =
n−1
X
k=−n+1
(1 − |k|
n )e ikθ
2. Pour θ 6∈ 2π Z, en calculant D n (θ) à l'aide d'une somme de termes en progresssion géométrique, exprimer nF n (θ) comme le carré d'un quotient de sinus. (ne pas chercher à utiliser la première question)
Exercice 2. Demi-plan de Poincaré
Soit H l'ensemble des nombres complexes dont la partie imaginaire est strictement po- sitive. On dira que H est le demi-plan de Poincaré 2 . On note Im(z) la partie imaginaire d'un nombre complexe z .
On dénit une fonction c de H vers R en posant
∀z ∈ H, c(z) = |z| 2 + 1 2 Im(z) Pour tout θ réel, on dénit une fonction A θ dans H par :
∀z ∈ H, A θ (z) = z cos θ − sin θ z sin θ + cos θ
1. a. Pour tout z dans H et θ réel, préciser la partie imaginaire de A θ (z) . En déduire que A θ (z) ∈ H .
Dans toute la suite, les fonctions A θ seront des fonctions de H dans H . b. Montrer que
A 0 = Id H ; ∀(θ, θ 0 ) ∈ R 2 : A θ+θ
0= A θ ◦ A 0 θ Montrer que A θ est bijective.
1
D'aprés CCMP 2001 2 eme épreuve
2
D'après X2001 MP épreuve 1 partie II
2. a. Montrer que pour tout θ réel, c ◦ A θ = c . b. Soit θ, θ 0 deux réels et z ∈ H − {i} .
Montrer que A θ (z) = A θ
0(z) si et seulement si θ − θ 0 ∈ π Z.
3. Soit z 0 ∈ H − {i} et C z
0le cercle de centre ic(z 0 ) et de rayon p
c(z 0 ) 2 − 1 . On note O = {A θ (z 0 ), θ ∈ R } .
a. Montrer que O est une partie du cercle C z
0. b. Montrer que O est égal à ce cercle.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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