porte sur les déterminants des matrices à coecients dans {0, 1} . Dans ce texte, n est un entier supérieur ou égal à 2 et on note :

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Cet exercice

¹

porte sur les déterminants des matrices à coecients dans {0, 1} . Dans ce texte, n est un entier supérieur ou égal à 2 et on note :

M n = M n ( R ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R, GL n ( R ) l'ensemble des éléments inversibles de M n ( R ) ,

X n l'ensemble des éléments de M n ( R ) dont tous les coecients sont dans {0, 1} , Y n l'ensemble des éléments de M n ( R ) dont tous les coecients sont dans [0, 1] ,

I. Généralités

1. Justier que X n est un ensemble ni et préciser son cardinal.

2. Démontrer que | det(M )| < n! pour tout M ∈ Y n .

3. Soit M ∈ Y n et λ une valeur propre complexe de M c'est à dire λ ∈ C , ∃X ∈ M n,1 ( C ), X 6= 0

_M_n,1₍_C₎

tq M X = λX.

Montrer que |λ| ≤ n et donner un exemple explicite où l'on a l'égalité.

4. Étude de X _n

⁰

= X n ∩ GL n ( R ) .

a. Faire la liste des éléments de X

₂⁰

.

b. Montrer que X

₂⁰

engendre M

2

. La propriété Vect(X _n

⁰

) = M n est-elle vraie pour n ≥ 2 ?

II. Maximisation du déterminant

1. Justier l'existence de

x n = max {det(M ), M ∈ X n } y n = sup {det(M ), M ∈ Y n } . 2. Montrer que la suite (y k ) _k≥2 est croissante.

3. Soit J ∈ X n la matrice dont tous les coecients valent 1 . On pose M = J −I n . calculer det(M ) et en déduire que (y k ) _k≥2 tend vers +∞ .

4. Soit N ∈ Y n . Pour (i, j) ∈ J 1, n K

2

, on note n i,j les coecients de N et supposons que pour un (i

0

, j

0

) xé on ait 0 < n i

0

,j

0

< 1 .

a. Montrer qu'en remplaçant n _i

₀

_,j

₀

soit par 0 soit par 1 , on peut obtenir une matrice N

⁰

∈ Y _n telle que det(N) ≤ det(N

⁰

) .

b. Montrer que x n = y n .

1

d'après Math 1 PSI Concours Centrale-Supelec 2016

Corrigé

I. Généralités

1. L'ensemble X n s'identie aux fonctions de J 1, n K

2

dans {0, 1} , il est donc ni et de cardinal

2

⁽ⁿ²⁾

2. Exprimons le déterminant avec des permutations

|det(M )| =

X

σ∈S

n

ε(σ) Y

j∈

J1,nK

m _σ(j)j

≤ X

σ∈S

n

|ε(σ)| Y

j∈

J1,nK

|m _σ(j)j |

Tous les facteurs sont entre 0 et 1 donc tous les n! termes de la somme sont plus petits que 1 d'où | det(M )| ≤ 1 .

3. Soient A et B dans Y n et λ entre 0 et 1 . Considérons M λ = λA + (1 − λ)B . Ses coecients vérient

terme i, j de M _λ = λa _i,j + (1 − λ)b _i,j ∈ [0, 1]

Donc M λ ∈ Y n ce qui prouve que Y n est convexe.

4. Comme la colonne propre X est non nulle, il existe un indice i tel que 0 < |x i | ≥ |x j | pour tous les autres j . On en déduit, en examinant la ligne i du produit M X :

|λ||x i | ≤

n

X

j=1

|m i,j |

| {z }

≤1

|x j |

|{z}

≤|x_i|

≤ n|x i | ⇒ |λ| ≤ n

Si M est la matrice ne contenant que des 1 et X la colonne ne contenant que des 1 , on a M X = nX . Il est donc possible d'obtenir des valeurs propres de module n . 5. a. Parmi les 16 matrices d'ordre 2 formées de 0 et de 1, on liste d'abord celles qui ne

contiennent ni ligne ni colonne nulle en considérant les premières lignes possibles (il y en a 3) :

0 1 1 0

, 0 1

1 1

, 1 0

0 1

, 1 0

1 1

, 1 1

0 1

, 1 1

1 0

, 1 1

1 1

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Amat5abr

(2)

MPSI B 29 juin 2019

On élimine la dernière qui est de rang 1 . Il en reste donc 6 . A =

0 1 1 0

, B = 0 1

1 1

, I = 1 0

0 1

, C = 1 0

1 1

, D = 1 1

0 1

, E =

1 1 1 0

, b. Elles engendrent les matrices élémentaires car

E

_1,1

= E − A, E

_1,2

= D − I, E

_2,1

= C − I, E

_2,2

= B − A

Dans le cas général de l'ordre n . Si i 6= j , la matrice I n + E i,j est une matrice d'opérations élémentaire donc dans X _n

⁰

. Ceci montre que E _i,j ∈ Vect(X _n

⁰

) . Pour les E _i,i , on utilise la matrice D avec des 1 sur la mauvaise diagonale ( d _i,j = δ _n−j+1,i ) car D + E _i,i est encore inversible. On engendre ainsi tous les E _i,i sauf E _p,p lorsque n = 2p + 1 . On pourra également l'obtenir comme combinaison mais avec plus de deux matrices. La propriété reste donc vraie à l'ordre n . Par exemple





0 0 0 0 1 0 0 0 0



 = D + 2I −





1 0 0 0 1 0 1 0 1



 −





1 0 1 0 1 0 0 0 1





Le raisonnement est sans doute plus clair avec les matrices de permutations qui sont des éléments de Vect(X _n

⁰

) .

Pour n'importe quel couple (i, j) , il existe des permutations σ telles que σ(j) 6= i . Le terme i, j de P σ est alors nul. La matrice P

⁰

= E ij + P σ est inversible car son déterminant est ε(σ) . En eet σ est la seule permutation qui contribue au déterminant à cause de la contrainte imposée par les n − 1 colonnes (autres que la j -ème) qui ne contiennent qu'un seul terme non nul. De plus P

⁰

Vect(X _n

⁰

) car elle ne contient que des 0 et des 1 don :

E ij = P

⁰

− P σ ∈ Vect(X _n

⁰

).

II. Maximisation du déterminant

1. Comme X n est ni, l'ensemble des déterminants l'est aussi donc il admet un plus grand élément.

L'ensemble Y n est inni donc on ne peut armer que l'ensemble des déterminants soit ni. En revanche, on sait d'après I.2. qu'il est majoré. Comme toute partie de R non vide et majorée il admet une borne supérieure y _n .

2. Le nombre y n+1 est un majorant de {det(M ), M ∈ Y n } . En eet, pour toute M ∈ Y n , on peut former une matrice M

⁰

∈ Y n+1 de même déterminant en la bordant par des 0 avec seulement un 1 en position 1, 1 . Comme y _n est le plus petit des majorants, on en déduit y _n ≤ y _n+1 .

3. Notons X

₁

, · · · , X _n les colonnes de la base canoniques des matrices colonnes et C la colonne qui ne contient que des 1 . On peut alors écrire

C _j (J) = C − X _j

Développons le déterminant de M par multilinéarité par rapport aux colonnes. Seuls contribuent les distributions où C gure au plus une fois. On en déduit

det(M ) = (−1) ⁿ det(I) + (−1) ⁿ⁻¹

n

X

j=1

det(X

1

, · · · , X j−1 , C, X j+1 , · · · , X n )

= (−1) ⁿ⁻¹ (n − 1) Ces matrices montrent que la suite des y n diverge vers +∞ pour les n impairs. Pour les n pairs, il sut de modier la matrice en permutant deux lignes ou colonnes.

4. a. On suppose n i

0

,j

0

∈ ]0, 1[ , considérons le développement du déterminant selon la colonne j

₀

. Dans ce développement, le coecient n _i

₀

_,j

₀

intervient seulement dans le terme

n _i

₀

_,j

₀

C _i

₀

_,j

₀

où C _i

₀

_,j

₀

désigne le cofacteur. Si ce cofacteur est positif ou nul, en remplaçant n _i

₀

_,j

₀

par 1 , on augmente le déterminant. Si le cofacteur est strictement négatif, en remplaçant cette fois n i

₀

,j

₀

par 0 on l'augmente aussi. On peut donc former une matrice N

⁰

comme le demande l'énoncé.

b. Pour une matrice M quelconque dans Y n , en procédant systématiquement comme dans la question précédente, on peut remplacer tous les coecients dans l'inter- valle ouvert par des 0 ou des 1 et obtenir nalement une matrice M

⁰

∈ X n telle que det(M ) ≤ det(M

⁰

) . On en déduit que x n est un majorant de y n donc que x n = y n .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai Amat5abr

porte sur les déterminants des matrices à coecients dans {0, 1} . Dans ce texte, n est un entier supérieur ou égal à 2 et on note :

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Cet exercice

porte sur les déterminants des matrices à coecients dans {0, 1} . Dans ce texte, n est un entier supérieur ou égal à 2 et on note :

M n = M n ( R ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R, GL n ( R ) l'ensemble des éléments inversibles de M n ( R ) ,

X n l'ensemble des éléments de M n ( R ) dont tous les coecients sont dans {0, 1} , Y n l'ensemble des éléments de M n ( R ) dont tous les coecients sont dans [0, 1] ,

I. Généralités

1. Justier que X n est un ensemble ni et préciser son cardinal.

2. Démontrer que | det(M )| < n! pour tout M ∈ Y n .

3. Soit M ∈ Y n et λ une valeur propre complexe de M c'est à dire λ ∈ C , ∃X ∈ M n,1 ( C ), X 6= 0

tq M X = λX.

Montrer que |λ| ≤ n et donner un exemple explicite où l'on a l'égalité.

4. Étude de X n

= X n ∩ GL n ( R ) .

a. Faire la liste des éléments de X

.

b. Montrer que X

engendre M

. La propriété Vect(X n

) = M n est-elle vraie pour n ≥ 2 ?

II. Maximisation du déterminant

1. Justier l'existence de

x n = max {det(M ), M ∈ X n } y n = sup {det(M ), M ∈ Y n } . 2. Montrer que la suite (y k ) k≥2 est croissante.

3. Soit J ∈ X n la matrice dont tous les coecients valent 1 . On pose M = J −I n . calculer det(M ) et en déduire que (y k ) k≥2 tend vers +∞ .

4. Soit N ∈ Y n . Pour (i, j) ∈ J 1, n K

, on note n i,j les coecients de N et supposons que pour un (i

, j

) xé on ait 0 < n i

,j

< 1 .

a. Montrer qu'en remplaçant n i

,j

soit par 0 soit par 1 , on peut obtenir une matrice N

∈ Y n telle que det(N) ≤ det(N

) .

b. Montrer que x n = y n .

d'après Math 1 PSI Concours Centrale-Supelec 2016

Corrigé

I. Généralités

1. L'ensemble X n s'identie aux fonctions de J 1, n K

dans {0, 1} , il est donc ni et de cardinal

2

2. Exprimons le déterminant avec des permutations

|det(M )| =

X

σ∈S

ε(σ) Y

j∈

m σ(j)j

≤ X

σ∈S

|ε(σ)| Y

j∈

|m σ(j)j |

Tous les facteurs sont entre 0 et 1 donc tous les n! termes de la somme sont plus petits que 1 d'où | det(M )| ≤ 1 .

3. Soient A et B dans Y n et λ entre 0 et 1 . Considérons M λ = λA + (1 − λ)B . Ses coecients vérient

terme i, j de M λ = λa i,j + (1 − λ)b i,j ∈ [0, 1]

Donc M λ ∈ Y n ce qui prouve que Y n est convexe.

4. Comme la colonne propre X est non nulle, il existe un indice i tel que 0 < |x i | ≥ |x j | pour tous les autres j . On en déduit, en examinant la ligne i du produit M X :

|λ||x i | ≤

n

X

j=1

|m i,j |

| {z }

|x j |

|{z}

≤ n|x i | ⇒ |λ| ≤ n

Si M est la matrice ne contenant que des 1 et X la colonne ne contenant que des 1 , on a M X = nX . Il est donc possible d'obtenir des valeurs propres de module n . 5. a. Parmi les 16 matrices d'ordre 2 formées de 0 et de 1, on liste d'abord celles qui ne

contiennent ni ligne ni colonne nulle en considérant les premières lignes possibles (il y en a 3) :

0 1 1 0

, 0 1

1 1

, 1 0

0 1

, 1 0

1 1

, 1 1

0 1

4. Étude de X _n

. La propriété Vect(X _n

x n = max {det(M ), M ∈ X n } y n = sup {det(M ), M ∈ Y n } . 2. Montrer que la suite (y k ) _k≥2 est croissante.

3. Soit J ∈ X n la matrice dont tous les coecients valent 1 . On pose M = J −I n . calculer det(M ) et en déduire que (y k ) _k≥2 tend vers +∞ .

a. Montrer qu'en remplaçant n _i

_,j

∈ Y _n telle que det(N) ≤ det(N

m _σ(j)j

|m _σ(j)j |

terme i, j de M _λ = λa _i,j + (1 − λ)b _i,j ∈ [0, 1]

Dans le cas général de l'ordre n . Si i 6= j , la matrice I n + E i,j est une matrice d'opérations élémentaire donc dans X _n

. Ceci montre que E _i,j ∈ Vect(X _n

Le raisonnement est sans doute plus clair avec les matrices de permutations qui sont des éléments de Vect(X _n

Vect(X _n

− P σ ∈ Vect(X _n

L'ensemble Y n est inni donc on ne peut armer que l'ensemble des déterminants soit ni. En revanche, on sait d'après I.2. qu'il est majoré. Comme toute partie de R non vide et majorée il admet une borne supérieure y _n .

∈ Y n+1 de même déterminant en la bordant par des 0 avec seulement un 1 en position 1, 1 . Comme y _n est le plus petit des majorants, on en déduit y _n ≤ y _n+1 .

, · · · , X _n les colonnes de la base canoniques des matrices colonnes et C la colonne qui ne contient que des 1 . On peut alors écrire

C _j (J) = C − X _j

det(M ) = (−1) ⁿ det(I) + (−1) ⁿ⁻¹

= (−1) ⁿ⁻¹ (n − 1) Ces matrices montrent que la suite des y n diverge vers +∞ pour les n impairs. Pour les n pairs, il sut de modier la matrice en permutant deux lignes ou colonnes.