Alg`ebre et Topologie
L’objet de ces notes est d’expliciter un contre-exemple, cryptiquement ´evoqu´e en cours.
On consid`ere l’anneau (commutatif unitaire) suivant
A := R[X, Y, Z]/(X2+Y2+Z2−1) ,
en clair le quotient de l’anneau de polynˆomes R[X, Y, Z] par l’id´eal engendr´e par le polynˆome X2+Y2+Z2−1.
On note respectivement ξ, η, ζ les classes de X, Y, Z dans A ; on a donc par d´efinition
ξ2+η2+ζ2 = 1 et A est engendr´e comme R-alg`ebre par ξ, η etζ.
On note ula forme lin´eaire
A3 →A , (a, b, c)7→ξa+ηb+ζc et e l’´el´ement (ξ, η, ζ) de A3.
On observe que l’on a u(e) = 1 si bien que l’on dispose d’isomorphismes canoniques de A-modules
A3 ∼= Ae⊕Keru ∼= A⊕Keru . Proposition. Le A-moduleKeru n’est pas libre.
D´emonstration. On raisonne par l’absurde. On suppose que le A-module Keru est libre. Comme Keru est un quotient de A3, sa dimension est forc´ement finie (le lecteur aura `a coeur de v´erifier cette affirmation). Comme la juxtaposition d’une base de Ae et d’une base de Keru fournit une base de A3, la dimension de Keru est 2. Soit (e2, e3) une base de Keru, alors, comme on vient de le dire, (e, e2, e3) est une base de A3 ; soit P la matrice de passage de la base canonique de A3 `a cette base, en clair la matrice (3,3)
`
a coefficients dans Adont les colonnes, vues comme des ´el´ements deA3, sont e, e2 ete3. On sait que le d´eterminant de P, d´etP, est un ´el´ement inversible deA. Quitte `a remplacer e3 par e3/d´etP, on peut supposer que l’on dispose d’un ´el´ement P de SL3(A) de la forme
P =
ξ α12 α13 η α22 α23 ζ α32 α33
avec ξα12+ηα22+ζα32 = 0 et ξα13+ηα23+ζα33= 0.
1
On introduit maintenant la sph`ere S2, c’est-`a-dire le sous-ensemble de R3 constitu´e des (x, y, z) qui v´erifient x2 +y2 +z2 = 1 ; on munit S2 de la topologie induite par celle de R3.
On note C(S2) laR-alg`ebre constitu´ee des fonctions continues d´efinies sur S2 et `a valeurs dansR. On constate que l’application deR[X, Y, Z] dans C(S2) qui `a un polynˆome F associe la fonction (x, y, z) 7→ F(x, y, z) induit par passage au quotient une application deA dans C(S2) (le lecteur aura `a coeur de v´erifier cette affirmation) que l’on note ev. Il est clair que ev :A→C(S2) est un homomorphisme de R-alg`ebres (et donc d’anneaux).
On consid`ere la matrice ev(P) de SL3(C(S2)) en clair la matrice suivante
x ev(α12) ev(α13) y ev(α22) ev(α23) z ev(α32) ev(α33)
(la notation x ci-dessus d´esigne la fonction S2 → R,(x, y, z) 7→ x, mˆeme chose pour y et z).
On note respectivement Vj,j = 2,3, l’application continue S2 →R3 dont les composantes sont les ev(αij), i= 1,2,3. Par construction on a :
s.V2(s) = 0 , s.V3(s) = 0 , d´et(s, V2(s), V3(s)) = 1 , pour tout s dans S2, −.− et d´et(−,−,−) d´esignant le produit scalaire et le d´eterminant canoniques de R3. Les deux premi`eres ´egalit´es montrent que les applications V2 et V3 peuvent ˆetre vues comme des champs de vecteurs (continus) sur S2et la troisi`eme montre que ces champs de champs de vecteurs ne s’annulent pas. Or tout champ de vecteurs sur S2 s’annule (pour ceux qui connaissent la th´eorie du groupe fondamental voir l’exercice ci-apr`es).
Contradiction.
Exercice
0) Montrer que les groupes topologiques S1 et SO(2) sont isomorphes.
On note i : SO(2)→SO(3) l’application
"
a −b b a
#
7→
a −b 0
b a 0
0 0 1
.
2
1) Soit α le lacet de SO(2) en I2, t 7→
"
cos 2πt −sin 2πt sin 2πt cos 2πt
#
(la notation In d´esigne la matrice identit´e n×n). Montrer que les lacets de SO(3) en I3, i◦α et i◦(α−1) sont homotopes.
[Soit w l’automorphisme int´erieur A 7→ SAS−1 de SO(3) avec S =
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
.
Comparer les applications i et w◦i . Observer qu’il existe un chemin dans SO(3) joignant I3`a S.]
2) Montrer qu’il n’existe pas d’application continue r : SO(3)→SO(2) telle que l’application compos´eer◦i est l’identit´e de SO(2).
3) Un champ de vecteurs sur S2 est une application continue V : S2 → R3 telle que l’on a x.V(x) = 0 pour tout x dans S2. Soit V un tel champ de vecteurs, montrer qu’il existe un point x0 de S2 en lequel on a V(x0) = 0.
[Soit V un champ de vecteurs sur S2 v´erifiant kV(x)k = 1 pour tout x dans S2. On note x0 le point (0,0,1) de S2. Consid´erer les applications s : S2 → SO(3), x 7→
V(x) x∧V(x) x
(V(x), x∧V(x) et xsont vues ici comme des matrices colonnes,
∧ d´esigne le produit vectoriel deR3) et s1 : S2 → SO(3), x 7→ s(x)s(x0)−1. Observer que l’on a s1(x)x0 = x, s1(x)x0 = x et s1(x0) = I3. Montrer enfin que l’application SO(3) →SO(3), A 7→(s1(Ax0))−1A induit une application continue r : SO(3)→SO(2) telle quer◦i est l’identit´e de SO(2).]
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