ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 4 - Concours Blanc 1 - durée : 4 h 18 janvier 2011 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition d'une probabilité (sur un espace probabilisable inni (Ω;A)).
2. Donner la dénition de deux évènements indépendants.
Exercice I.
Deux joueursX etY lancent, chacun à leur tour, un dé équilibré à 6 faces.
X commence.X eectuera donc les lancersno1,3,5,7..., etY les lancersno2,4,6,8, ...
Le premier joueur obtenant un6 gagne la partie, et le jeu se termine à cet instant.
On modélise la situation par une suite innie de lancers d'un tel dé, puisque l'on ne sait a priori pas combien de temps va durer la partie.
On considère, pour n∈N∗, les évènements : An= {Le ne lancer donne un 6}
Tn= {Le 6 apparaît pour la première fois aune lancer}
On notepn=P(Tn). Partie A.
1. Pourn∈N∗, exprimerTn en fonction des (Ak)1≤k≤n. 2. Calculer p1,p2 etp3.
3. Montrer que ∀n∈N∗, pn= 5
6 n−1
1 6.
4. Quelle est la nature de la suite(pn)n∈N∗? Préciser ses éléments caractéristiques.
5. A quoi correspond l'évènement T = [
n∈N∗
Tn? 6. Montrer que P(T) = 1.
7. Que cela signie-t-il concrètement ? Partie B.
1. Décrire par une phrase simple l'évènement E = [
n∈N
T2n+1. 2. Calculer P(E).
3. A qui le jeu est-il favorable ?
4. Préciser la probabilité de gagner du joueur Y. Exercice II.
1. Sans utiliser de fonction prédénie du type ln ousqr,
créer un programme Turbopascal, qui demande un entiern∈N∗ à l'utilisateur, puis calcule une valeur approchée de Sn=
n
X
k=1
1
k3, à10−5 près.
2. Etudier la complexité du programme précédent.
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Exercice III.
Le but de l'exercice est de démontrer que la série X 1
n3 est convergente, et d'encadrer sa somme.
Pour n∈N∗, on pose Sn=
n
X
k=1
1 k3. 1. Calculer S3.
2. Déterminer les réelsa,betc tels que ∀k≥2, 1
k3−k = a k−1 + b
k+ c k+ 1. 3. En déduire que ∀k≥2, 1
k3 ≤ 1 2
1 k−1 −1
k
−1 2
1 k− 1
k+ 1
. 4. En sommant pour les indices k∈[[1;n]], montrer que ∀n∈N∗, Sn≤ 5
4− 1
2n(n+ 1). 5. En déduire la convergence de la série X 1
n3 , et donner un majorant de sa sommeS. 6. En utilisant les résultats précédents, donner un encadrement d'amplitude10−1 de S.
Exercice IV.
Soit la fonctionf dénie par f(x) = 2xln(x) +x2
2 −4x−3. On noteCf sa courbe représentative.
1. a. Déterminer son ensemble de dénition Df. b. Justier la continuité def surDf.
c. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de dénition.
d. Comment peut-on alors prolonger continûmentf en0? Expliquer.
e. Déterminer la branche innie def en +∞. 2. a. Montrer que ∀x >0, f0(x) = 2 ln(x) +x−2.
b. Justier brièvement le fait que f0 est strictement croissante surR∗+. c. Calculer les limites de f0 en 0 et en+∞.
d. Expliquer pourquoi f0 s'annule exactement une fois sur R∗+, en une abscisse notée α. e. En déduire le tableau de variations def.
3. On admet, qu'à 10−1 près, ln(2) = 0.7 a. Calculer f(1), puis f(4) à10−1 près.
b. On admet, qu'à 10−1 près, α= 1.4, −6.7< f(α)<−6.6
Sans calculer explicitementf(α), déterminer pour quelles valeurs du réel β l'équation f(x) =β admet des solutions.
4. On admet que la tangente à Cf à l'origine est verticale.
Sur l'annexe, tracerCf, en s'aidant de l'étude précédente.
Question supplémentaire.
Si on observe une route pendant 20 minutes, on a99%de chance d'y voir passer au moins une voiture.
On observe cette route pendant 5 minutes. Quelle probabilité a-t-on qu'au moins une voiture y passe ? (On donne √
10'3.2)
2
NOM : Prénom :
3
