ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 3 - Concours Blanc 1 - durée : 4 h 17 janvier 2012 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Enoncer la formule des probabilités composées dans le cas d'un nombre quelconque (ni) d'évènements.
2. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
3. Rappeler la formule donnant la somme d'une série géométrique, et la démontrer.
Exercice I.
Justier la convergence, puis calculer la somme S=
+∞
X
n=2
n2 (−3)n
Exercice II.
Créer un programme turbopascal qui demande un entier naturelnà l'utilisateur, et calcule Sn=
n
X
k=1
1 k2. Exercice III.
On considère un jeu de52 cartes usuel.
Les couleurs sont : trèe, pique, coeur, carreau.
Les hauteurs sont : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as.
Partie A.
On tire une à une les cartes, sans remise, jusqu'à obtenir un as. On noteX le nombre de tirages nécessaires.
On pose, pour n∈N∗, En="le ne tirage donne un as".
1. Quelles sont les valeurs possibles pourX? Justier.
2. Calculer P({X= 1}),P({X = 2}),P({X= 3}).
3. Déterminer une formule générale donnant P({X=k}), pour une quelconque valeur possiblekdeX. Partie B.
On tire une à une les cartes, avec remise, jusqu'à obtenir un as. On noteX le nombre de tirages nécessaires.
On pose à nouveau, pourn∈N∗, En="le ne tirage donne un as".
(Attention, il ne s'agit plus de la même expérience !) 1. Quelles sont les valeurs possibles pourX? Justier.
2. Décrire par une phrase l'évènement An=
n
T
k=1
Ek. 3. Calculer P(An).
4. Calculer lim
n→+∞P(An), et interpréter le résultat.
1/4
Exercice IV.
On considère la fonctionf dénie surR∗+ par f(x) = (x+ ln(x))ex−1 1. Calculer f(1).
2. a. Vérier quef est continue sur R∗+.
b. Peut-on prolongerf par continuité en 0? Préciser.
c. Calculer lim
x→+∞f(x). 3. a. Calculer f0(x), pourx >0.
b. Montrer que ∀x >0, ln(x) + 1
x >0. (On pourra faire une étude de fonction.) c. En déduire que ∀x >0, x+ ln(x) + 1 + 1
x >0. d. Etudier alors les variations de f.
4. a. Montrer que l'équation x+ ln(x) = 0 admet au moins une solution sur R∗+. b. Justier l'unicité de cette solution.
5. Déterminer les branches innies def.
6. Tracer l'allure de la courbe représentativeCf de f sur l'annexe.
2
Exercice V.
1. Soit le polynômeP déni par P(x) =x3−1
5x2−11 20x+ 1
5. a. Calculer P
1 2
.
b. En déduire toutes les racines de P, avec leur ordre de multiplicité.
2. On considère l'ensemble E des suites réelles (un)n∈N vériant l'égalité :
∀n∈N, 20un+3−4un+2−11un+1+ 4un= 0.
a. Soit les suites x,y etz de termes généraux respectifs : xn=
1 2
n
, yn=n 1
2 n
et zn=
−4 5
n
.
Montrer quex est un élément de E. (On admet que y et z sont aussi des éléments de E.) b. Soit (un)n∈N l'élément de E déni par u0= 1, u1 =−3 et u2= 26
5 .
Chercher trois réelsa,bet ctels que la relation (Rn) :un=axn+byn+czn soit vériée pour n= 0,n= 1 etn= 2.
c. Montrer alors par récurrence triple sur n ∈ N que la relation (Rn) est vériée pour tout entier natureln. (question dicile)
d. En déduire l'expression deunen fonction de n.
e. Montrer que la série de terme généralun est convergente.
f. Calculer alors la somme de cette série. (Eventuellement en fonction de a, b etc si vous n'avez pu les déterminer précédemment.)
3
NOM : Prénom :
4
