ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 5 - durée : 4 h 17 mars 2012 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition d'une matrice inversible.
2. Quand dit-on qu'une fonction f est de classe C∞ sur un intervalle I? 3. Qu'est-ce qu'une fonction convexe ?
Exercice I.
Créer un programme Turbopascal comportant la fonction f dénie parf(x) =x ln(x)
, et qui, par appel à cette fonction, calcule et ache f(2) +f(5) +f(15).
(La fonction valeur absolue est prédénie en langage Pascal, et se nomme "abs".)
Exercice II.
On considère les matrices : A=
0 0 −2
1 −1 −2
1 0 3
, P =
2 0 −1 2 1 −1
−1 0 1
, Q=
1 0 1
−1 1 0 1 0 2
et M =
1 0 0
0 −1 0
0 0 2
1. a. Vérier que Q=P−1. b. Calculer QAP.
c. En déduire que A=P M Q.
2. Montrer que ∀n∈N, An=P MnQ, et expliciterAn.
3. On considère trois suites(un)n∈N,(vn)n∈N et(wn)n∈Ntelles que
u0=−1 v0 = 3 w0 =−4
et ∀n∈N,
un+1 =−2wn
vn+1=un−vn−2wn
wn+1=un+ 3wn
On introduit la matrice Xn=
un vn
wn
. a. Vérier que ∀n∈N, Xn+1 =AXn, puis que ∀n∈N, Xn=AnX0.
b. En déduire l'expression des suites (un)n∈N,(vn)n∈N et(wn)n∈N en fonction den.
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Exercice III.
Une urne contient 10boules : 3rouges et 7 bleues.
On eectue des tirages avec remise dans l'urne.
La partie se termine dès la première obtention d'une boule rouge.
On modélise la situation par une suite innie de tirages dans l'urne, puisque l'on ne sait a priori pas combien de temps va durer la partie.
On considère, pour n∈N∗, les évènements : En= {Le ne tirage donne une boule rouge}
Tn= {Une boule rouge apparaît pour la première fois au ne tirage}
On note pn=P(Tn). Partie A.
1. Pour n∈N∗, exprimer Tn en fonction des (Ek)1≤k≤n. 2. Calculer p1,p2 etp3.
3. Montrer que ∀n∈N∗, pn= 7
10 n−1
3 10.
4. Quelle est la nature de la suite (pn)n∈N∗? Préciser ses éléments caractéristiques.
5. Concrètement, à quoi correspond l'évènement T = [
n∈N∗
Tn? 6. Montrer que P(T) = 1.
7. Que cela signie-t-il concrètement ?
Partie B. Deux joueurs AetB eectuent, chacun à leur tour, des tirages avec remise dans l'urne.
A commence.A eectuera donc les tirages no1,3,5, ..., etB les tiragesno2,4,6, ...
Le premier joueur obtenant une boule rouge gagne la partie, et le jeu se termine à cet instant.
On conserve les notations de la Partie A.
1. Décrire par une phrase simple l'évènement F = [
n∈N
T2n+1. 2. Montrer que P(F) = 10
17. 3. A qui le jeu est-il favorable ?
4. Préciser la probabilité de gagner du joueur B.
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Exercice IV.
On considère la fonction f dénie sur R+ par f(x) = ( x
ln(x)
si x >0
0 si x= 0 .
On donne ln(2)≈0.69 et 1
e ≈0.37 1. Calculer f(1).
2. Calculer lim
x→+∞f(x).
3. a. Justier brièvement la continuité def sur R∗+. b. Calculer lim
x→0+f(x). Que peut-on en déduire ? 4. Vérier que l'on peut aussi écrire f(x) =
( xln(x) si x≥1
−xln(x) si 0< x <1 . 5. Justier brièvement le fait que f soitC∞ sur]1; +∞[.
(On admet qu'elle l'est aussi sur ]0; 1[.)
6. a. Montrer que f0(x) =
( 1 + ln(x) si x >1
− 1 + ln(x)
si 0< x <1 . b. f est-elle dérivable en 0? Si oui, préciser f0(0).
c. Montrer que fg0(1) =−1 et fd0(1) = 1.
d. f est-elle dérivable en 1? Justier.
e. Sur l'annexe, faire apparaître les tangentes correspondantes.
(On admet que la tangente à l'origine est verticale.) 7. Etudier les variations de f.
8. Montrer que f admet une branche innie, et préciser de laquelle il s'agit.
9. a. Calculerf”(x), lorsque le réel x le permet.
b. Etudier le signe de f”, puis la convexité def. 10. Tracer l'allure deCf sur l'annexe.
(On pourra placer notamment les éventuels extrema locaux, et le point d'abscisse 2.)
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NOM : Prénom :
Annexe
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