BCPST 1 27 mars 2021
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On attachera un soin tout particulier à la rédaction, toutes les réponses devront être justifiées. N’hésitez surtout pas à faire des phrases ; par contre, hésitez suffisam- ment longtemps avant d’écrire des choses qui n’auraient pas de sens.
L’utilisation de tout matériel électronique est interdite.
Ce sujet contient deux pages, un exercice et deux problèmes indépendants.
Durée : 2h30.
Exercice — The Matrix Reprogrammed
Dans cet exercice, les matrices seront représentées comme des tableauxnumpy.
1. Écrire une fonction en Python qui prend en argument une matriceAet qui renvoie True si la matrice A est antisymétrique, False sinon.
On n’utilisera pas la fonction transpose.
2. (a) Écrire une fonction en Python qui prend en arguments deux matrices A et B, et qui renvoie le produitABs’il est bien défini, un message d’erreur sinon.
On n’utilisera pas la fonction dot.
(b) À l’aide de la fonction précédente, écrire une fonction en Python qui prend en arguments une matrice carrée A et un entier naturelm, et qui renvoie la matriceAm.
Problème 1 — La diagonale du carré Considérons les matricesA=
16 4 −4
−18 −4 5 30 8 −7
etP =
1 0 −1
−2 1 1 2 1 −2
. Partie I : Diagonalisation
1. Montrer que la matriceP est inversible et calculer son inverse.
2. Déterminer l’ensemble des réelsλtels que la matriceA−λI3 ne soit pas inversible.
3. Posons D=P−1AP. Montrer que D=Diag(0,1,4).
4. (a) Calculer les puissances de la matrice D.
(b) En déduire les puissances de la matrice A.
5. Montrer que pour toute matrice M de M3(R), les matrices M et D commutent si et seulement si la matrice M est diagonale.
Lycée Pierre-Gilles de Gennes 1 Adriane Kaïchouh
BCPST 1 27 mars 2021 Partie II : Racines carrées de la matrice
On se propose dans cette partie de résoudre l’équationM2 =A, d’inconnueM ∈M3(R). 6. SoitM ∈M3(R) telle que M2 =A. Posons B =P−1M P.
(a) Montrer que B2 =D.
(b) Justifier que BD=DB.
(c) En déduire que la matrice B s’écrit
0 0 0 0 γ 0 0 0 2δ
, avec (γ, δ)∈ {−1; 1}2. 7. Réciproquement, soit B ∈M3(R) telle queB2 =D. Posons M =P BP−1.
Que peut-on dire de la matrice M?
8. Résoudre alors l’équationM2 =A, d’inconnue M ∈M3(R). Problème 2 — Les paramètres en éventail
Dans ce problème, on se place dans l’espace affine euclidien muni d’un repère ortho- normé
O,−→ i ,−→
j ,−→ k
. Soit t un réel.
Soit Pt le plan passant par le point At(1,−1, t) et normal au vecteur −→nt =
1 1 t
.
Considérons également l’ensembleEt de représentation cartésienne tx + y + z = 1
x + ty + z = t.
1. (a) Donner une équation cartésienne du plan Pt.
(b) Donner une représentation paramétrique du plan Pt.
(c) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point B(1,1,1)sur le plan Pt.
2. Déterminer, en fonction de la valeur de t, la nature géométrique et une représen- tation paramétrique de l’ensemble Et.
3. Déterminer l’intersection du planPt et de l’ensemble Et.
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