BCPST 1 22 janvier 2021
Devoir surveillé 5
On attachera un soin tout particulier à la rédaction, toutes les réponses devront être justifiées. N’hésitez surtout pas à faire des phrases ; par contre, hésitez suffisam- ment longtemps avant d’écrire des choses qui n’auraient pas de sens.
L’utilisation de tout matériel électronique est interdite.
Ce sujet contient trois pages, trois exercices et un problème. Les exercices et le problème sont indépendants.
Durée : 3h30.
Exercice 1 — Trace comme l’oiseau
Étudier la fonction suivante et tracer l’allure de son graphe : f: x7−→arctan
ln 3x2+ 4x+ 1
.
Exercice 2 — Marge de sécurité Soient a etb deux réels tels quea < b.
Soient f et g deux fonctions continues sur[a;b]telles que f > g, c’est-à-dire que
∀x∈[a;b], f(x)> g(x).
Montrer qu’il existe un réelm strictement positif tel que pour tout x∈[a;b], on ait : f(x)> g(x) +m.
Exercice 3 — À deux pas
Considérons la suite (un)n∈N définie par :
u0 = 1 u1 = 0
∀n ∈N, un+2 = 2√
3un+1−4un+ 2√ 3−5.
1. Trouver un réel ctel que la suite (vn)n∈N définie par
∀n∈N, vn =un−c soit récurrente linéaire d’ordre deux.
2. En déduire une expression explicite de la suite (un)n∈N.
Lycée Pierre-Gilles de Gennes 1 Adriane Kaïchouh
BCPST 1 22 janvier 2021 Problème — Une fonction peut en cacher une autre
Considérons les fonctions suivantes : f: R∗+ −→ R
x 7−→ x2−xln(x)−1 et ϕ: R∗+ −→ R
x 7−→ ln(x) + 2 x
.
La première partie de ce problème porte sur l’étude d’une suite définie implicitement à partir de la fonctionf. Dans le reste du problème, on se propose ensuite d’étudier la suite récurrente(un)n∈N définie par :
u0 = 3 2
∀n ∈N, un+1 =ϕ(un).
Dans tout le problème, on pourra utiliser sans démonstration les résultats de croissances comparées suivants :
x→0lim+xln(x) = 0 et lim
x→+∞
ln(x) x = 0.
Partie I : La petite suite qui monte
1. Montrer que pour tout n ∈ N, l’équation f(x) = n, d’inconnue x ∈ R∗+, admet une unique solution, que l’on appellera xn.
2. Montrer que la suite (xn)n∈N est strictement croissante.
3. Calculer, si elle existe, la limite de la suite (xn)n∈N.
Partie II : Un point fixe dans un intervalle stable 4. Dresser le tableau de variations de la fonctionϕ.
5. (a) Montrer qu’il existe un unique réel xstrictement positif tel que ϕ(x) =x.
Appelons α cet unique réel.
(b) Montrer que α=x1.
6. (a) Démontrer que pour tout x∈R∗+, on a ln(x)6x−1. (b) En déduire que ϕ
3 2; 2
⊆ 3
2; 2 . (c) Justifier que α∈
3 2; 2
.
7. Montrer queϕ est dérivable et que pour toutx∈ 3
2; 2
, on a |ϕ0(x)|6 2 9.
Lycée Pierre-Gilles de Gennes 2 Adriane Kaïchouh
BCPST 1 22 janvier 2021 Partie III : L’œil du cyclone récurrent
8. Montrer par récurrence que pour tout n∈N, la proposition suivante est vraie :
«le terme un est bien défini et un∈ 3
2; 2
».
9. Écrire une fonction en Python qui prend en argument un entier n et qui renvoie la valeur du terme un de la suite.
10. À l’aide de la question 7, démontrer que pour tout n ∈N,
|un+1−α|6 2
9|un−α|. 11. Montrer que pour tout n∈N, on a :
|un−α|6 2
9 n
|u0−α|. 12. En déduire, si elle existe, la limite de la suite (un)n∈N.
Lycée Pierre-Gilles de Gennes 3 Adriane Kaïchouh
