www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 1 Devoir Surveillé n° 5 2éme Bac SM Biof
1ér Semestre Durée 3h Exercice 1
SoitnIN ; on pose : In 02cosn
t dt
et 0 2n t
Jn
e dt 1) Montrer que pour tout nIN; on a :(i): 2 1
n 2 n
I n I
n
(ii),
1
1n n 2
n I I
(iii): 1 1
2 1
n n
n I
n I
2) Montrer que la suite
nIn
nIN est convergente ; puis calculer sa limite 3) En utilisant l’inégalité : x
1;
;ln 1
x
x ; montrer que :
u IR
n IN ;
u n 1 u n e un
4) Déduire que :
t 0; n
; 1 tn2 n et2 1tn2 n5) Montrer que :
n IN
; nI2n1 Jn nI2n2 ; puis déduire que la suite
Jn nIN est convergente puis déterminer sa limite.Exercice 2 Partie I
On considère la fonction f définie par : f
x ln
x 1x2
et
Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé
O i j; ;
(unité de mesure1cm )1) Vérifier que :Df IR; puis montrer que f est une fonction impaire.
2) Etudier les branches infinies de
Cf au voisinage de . 3) Montrer que f est dérivable sur IRet que :
x IR
4) Dresser le tableau de variation de f puis étudier le concavité de
Cf .5) Montrer que f réalise une bijection de IRversIR ; puis construire la courbe
Cf et
C1 celle de f1dansle même repère
O i j; ;
.6) Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par les courbes
Cf ;
C1 et les droites d'équation,x0et 4x .
7) Calculer le volume du solide engendre par la rotation de
Cf au tour de l'axe des abscisses en un tour complet sur l'intervalle
0;1 .www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 2 Partie II
Soient
Un nIN et
Vn nIN deux suites définies par :1 n 1
n k
U n k
et1 n 1
n k
V f
n k
;
n IN
1) Montrer que la suite
Un nIN est convergente et que sa limite estln 2. 2) Montrer que :
t IR
; 2
1 1 f t 1
t
; puis déduire que :
t IR
; 1 3
t6t f t t 3) Montrer que :
n IN
; 21 1
n 6 n n
U V U
n
; puis déduire la limite de la suite
Vn nINPartie III
Soit F la fonction définie par :
2
2 ; 0 0 ln 2
x x
F x f t dt si x t
F
1) Vérifier queDf IR ; puis montrer que F est une fonction paire.
2) Montrer que :
x IR
; 1 2 ln 2
ln 24x F x
3) Etudier le continuité puis la dérivabilité de F enx0 0 . 4) Montrer que :
x IR
; f x2
x F x
f
22xx5) Déduire la nature de la branche infinie de
CF au voisinage de .6) Montrer que F est dérivable surIR; et que :
x IR
;
2
2 2
2
f x f x
F x
x
7) Montrer que :
x IR
; f
2x 2f x
0(on pourra utiliser la monotonie de f).
8) Construire