Devoir Surveillé n° 5

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www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 ₁ Devoir Surveillé n° 5 2éme Bac SM Biof

1ér Semestre Durée 3h Exercice 1

SoitnIN ; on pose : In ₀²^cosⁿ

 

t dt







^et 0 ²

n t

Jn 



e^ dt 1) Montrer que pour tout nIN; on a :

(i): ₂ 1

n 2 n

I n I

 n

  

 (ii),



1



1

n n 2

n I I 

    

(iii): 1 ¹

2 1

n n

n I

 

 



2) Montrer que la suite



ⁿ^^Iⁿ



_n__IN est convergente ; puis calculer sa limite 3) En utilisant l’inégalité : ^{   }^x



^1;



^{;ln 1}



^^x



^ ^x ; montrer que :



^u ^IR

 

ⁿ ^{IN ;}



û ⁿ ¹ û ⁿ ê û

n

   

         

4) Déduire que :



^{ }^t ^^0; ⁿ^ 



^{; 1}^^ ^^t_n² ^^ⁿ ^^e^^t² ^^^¹^^t_n² ^^^ⁿ

5) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN^



^; ⁿ^^I²ⁿ^¹ ^ ^Jⁿ ^ ⁿ^^I²ⁿ^² ; puis déduire que la suite

 

Jn n__IN est convergente puis déterminer sa limite.

Exercice 2 Partie I

On considère la fonction f définie par : ^f

 

^x ^^ln



^x^ ¹^^x²



^et

^{ }

^C^f sa courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}



(unité de mesure1cm )

1) Vérifier que :D_f IR; puis montrer que f est une fonction impaire.

2) Etudier les branches infinies de

 

Cf au voisinage de . 3) Montrer que f est dérivable sur IRet que :



^{ }^x ^IR



4) Dresser le tableau de variation de f puis étudier le concavité de

 

Cf .

5) Montrer que f réalise une bijection de IRversIR ; puis construire la courbe

 

Cf et

 

^C^¹ ^{celle de} ^f^¹^dans

le même repère



^{O i j}^{; ;}



^.

6) Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par les courbes

 

Cf ;

 

^C^¹ et les droites d'équation,x0et 4

x .

7) Calculer le volume du solide engendre par la rotation de

 

Cf au tour de l'axe des abscisses en un tour complet sur l'intervalle

 

^0;1 ^.

(2)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 ₂ Partie II

Soient

 

Un n_IN et

 

Vn n_IN deux suites définies par :

1 n 1

n k

U  _ n k



 ^et

1 n 1

n k

V f

n k



 





  ^;



^{ }ⁿ ^IN^



1) Montrer que la suite

 

Un n_IN est convergente et que sa limite estln 2. 2) Montrer que :



^{ }^t ^IR^^



^; 2

^{ }

1 1 f t 1

t 

   ; puis déduire que :



^{ }^t ^IR^^



^; ¹ ³

^{ }

t6t  f t t 3) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN^



^; 2

1 1

n 6 n n

U V U

n

   

 

  ; puis déduire la limite de la suite

 

Vn n_IN

Partie III

Soit F la fonction définie par :

   

 

2

2 ; 0 0 ln 2

x x

F x f t dt si x t

F

  



 





1) Vérifier queD_f IR ; puis montrer que F est une fonction paire.

2) Montrer que :



^{ }^x ^IR^^



^; ¹ ² ^{ln 2}

^{ }

^{ln 2}

4x F x

   

3) Etudier le continuité puis la dérivabilité de F enx₀ 0 . 4) Montrer que :



^{ }^x ^IR^^



^; ^{f x}₂

^{ }

_x ^^{F x}

^{ }

^ ^f

^{ }

₂²_x^x

5) Déduire la nature de la branche infinie de

 

CF au voisinage de .

6) Montrer que F est dérivable surIR; et que :



^{ }^x ^IR^^



^;

^{ } ^{ }

2

^{ }

2 2

2

f x f x

F x

x

   7) Montrer que :



^{ }^x ^IR^^



^; ^f

^{ }

²^x ^²^{f x}

^{ }

^⁰

(on pourra utiliser la monotonie de f).

8) Construire

 

CF dans un repère orthonormé.