Devoir surveillé n°5

(1)

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Devoir surveillé n°5

Vendredi 20 février de 14h à 16h

Le barème est sur 125 points. L’évaluation prendra significativement en compte :

• la présentation ;

• la clarté des explications ;

• le soin porté à l’argumentation des réponses ;

• la justesse du vocabulaire et des symboles employés.

Exercice 1 (Problème de Cauchy linéaire d’ordre 1−22 points) Nous considérons le problème de Cauchy défini par

¯

• l’intervalle ]−1,1[ ;

• l’EDL1

(E) : y^′− x

x²−1y=1

d’inconnue une fonctiony: ]−1,1[→Rdérivable sur ]−1,1[ ;

• la condition initialey µ1

2

¶

=0.

1. Déterminer l’ensemble solution de l’équation homogène (EH) associée à (E). /4 2. Déterminer une solution « particulière » de (E) en appliquant la méthode de la varia- /12

tion de la constante.

3. Déterminer l’ensemble solution de l’équation (E). /4

4. Résoudre le problème de Cauchy initial. /2

Exercice 2 (Puissances de matrices−28 points)

Soient les matricesA:=





1 1 1 1 1 1 1 1 1



etB:=





0 1 1 1 0 1 1 1 0



.

1. Calculer les puissances de la matriceA. /8

2. Exprimer la matriceB en fonction deAetI₃, puis calculer ses puissances . /20 1

(2)

Exercice 3 (Matrice diagonale à coefficients diagonaux deux à deux distincts−20 points) Soitnun entier supérieur ou égal à 2. On rappelle queD_n(R) désigne l’ensemble des matrices n×nà coefficients dansR, qui sont diagonales. SoitD∈D_n(R) à coefficients diagonaux deux à deux distincts, i.e. telle que

∀(i,j)∈J1,nK², i6=j =⇒ [D]i i 6=[D]j j. Nous appelons commutant deDl’ensemble

Comm(D) :={A∈M_n(R) : AD=D A}.

Démontrer l’égalité d’ensembles : Comm(D)=D_n(R). /20

Problème (Produit de matrices carrées inversible(s)−55 points) Soitnun entier supérieur ou égal à 2.

1. SoitR∈M_n(K) une matrice échelonnée réduite telle queR6=I_n.

a. Démontrer l’inégalité : Rang(R)<n. /1

b. Démontrer qu’il existeX ∈M_n,1(K) tel que :X 6=0M_n,1(K)etR X =0M_n,1(K). /5 2. SoitA∈M_n(R). Énoncer la définition de l’assertion :Aest inversible. /1 3. Soit A ∈M_n(R) telle qu’il existeB ∈M_n(R) vérifiant AB =I_n. Démontrer que A est /8

inversible.

4. Soit A ∈M_n(R) telle qu’il existeB ∈M_n(R) vérifiantB A=I_n. Démontrer que A est /8 inversible.

5. SoientA∈M_n(R) etB∈M_n(R). Démontrer l’équivalence suivante. /10 (A,B)∈GL_n(R)² ⇐⇒ AB∈GL_n(R)

6. SoientA:=





1 3 2

3 1 −1

−7 1 1



etB:=





1 2 2 2 7 6 5 7 4



.

a. Calculer la matriceT :=AB. /6

b. Justifier queT est inversible, sans effectuer aucun calcul. /2 c. Déduire de ce qui précède queAetB sont inversibles, sans effectuer aucun calcul. /4

On prêtera une attention particulière à citer les questions précédentes utilisées.

d. DéterminerB⁻¹. /10

2