TaleST I Etude d’une fonction polynôme Lundi 01 décembre 2008
Devoir surveillé n˚5
Soitf la fonction de courbe représentativeCf définie surRpar :
f(x) =x3+5
2x2−2x−3 2. 1. (a) Déterminer la limite def en −∞.
(b) Déterminer la limite def en +∞.
2. (a) Déterminer la dérivée de la fonction f. (b) En déduire le tableau de variation def.
3. (a) La courbeCf admet-elle des tangentes horizontales ? Si oui, en quel(s) point(s) ? (b) Donner une équation deT, tangente à la courbeCf au point d’abscisse 1.
4. (a) D’apprès le tableau de variation, combien l’équationf(x) = 1 admet-elle de solutions surR? (b) Montrer que l’équation f(x) = 1 admet une solution α unique sur l’intervalle [ 1 ; 2 ].
(c) Donner un encadrement d’amplitude 10−3 pour α.
5. SoitF la fonction définie surR par :
F(x) = x4 4 +5x3
6 −x2−3x 2 +π.
(a) MontrerF est une primitive de la fonctionf surR.
(b) Calculer la valeur exacte, puis aprochée à 0,1 près, de A=F(−1)−F(−3).
Ce nombre représente l’aire située entre l’axe des abscisses, la courbeCf et les droites d’équations x=−3 etx=−1. On note A=
Z −1
−3
f(x) dx=F(−1)−F(−3).
6. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O;−→ı ;−→ ) d’unité 2 cm surOx et 0,5 cm surOy.
(a) Dans ce repère, tracer les tangentes horizontales, la tangenteT et la courbe Cf. (b) Représenter l’aire Acalculée dans la question 5.
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Correction du DS n˚5
1. (a) La limite def en −∞est une forme indéterminée du type «∞ − ∞».
On factorise :f(x) =x3
1 + 5 2x − 2
x2 − 3 2x3
.
x→−∞lim x3 =−∞
x→−∞lim
1 + 5 2x − 2
x2 − 3 2x3
= 1
par produit : lim
x→−∞ f(x) =−∞
(b) La limite def en +∞est une forme indéterminée du type «∞ − ∞», on utilise la factorisation :
x→+∞lim x3 = +∞
x→+∞lim
1 + 5 2x − 2
x2 − 3 2x3
= 1
par produit : lim
x→+∞ f(x) = +∞
2. (a) f′(x) = 3x2+ 5x−2
(b) Pour déterminer le signe de f′(x), on calcule le discriminant ∆, ici égal à 49, ce qui nous donne deux racines réelles distinctesx1 =−2 etx2= 1
3. Or, un polynôme du second degré est du signe de a(ici positif) sauf entre ses racines d’où le tableau de variation def :
x −∞ −2 13 +∞
Signe de f′(x) + 0 − 0 +
9
2 +∞
Variations def ր ց ր
−∞ −5027
3. (a) La courbeCf admet des tangentes horizontales lorsque sa dérivée s’annule, c’est à dire en−2 et en 1 3 (b) L’équation de la tangente en 1 estT :y=f(1)(x−1) +f(1).
Or,f(1) = 0 etf′(1) = 6 d’où l’équation de la tangente cherchée :y= 6(x−1) + 0.
Soit T :y= 6x−6
4. (a) D’après le tableau de variation, l’équationf(x) = 1 admet 3 solutions surR
(b) f est continue et strictement croissante sur [ 1 ; 2 ]. De plus, on af(1) = 0<1 et (2) = 12,5>1 donc, l’équationf(x) = 1 admet une unique solution dans l’intervalle [ 1 ; 2 ]
(c) La calculatrice nous donne :
x f(x) 1,146 0,996 1,147 1,004
On obtient donc 1,146< α <1,147
5. (a) F′(x) = 4x3
4 +5×3x2
6 −2x−3×1
2 +0 =x3+5x2
2 −2x−3
2 =f(x) donc, F est une primitive def surR (b) A= (−1)4
4 +5(−1)3
6 −(−1)2−3(−1) 2 +π
!
− (−3)4
4 +5(−3)3
6 −(−3)2−3(−3) 2 +π
!
A=− 1
12 +π+27
4 −π =⇒ A= 20 3 = 6,7
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6. Graphique :
1 2
−1
−2
−3
−4
4 8 12 16 20 24
−4
−8
−12
−16
b
b b b
Cf
T
α y = 1 A
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