ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 6 - durée : 4h 10 avril 2019 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Sujet pour : Alexandra, Amandine, Andjeli, Lydie, Maxime, Guillaume et Daniel.
Exercice I.
1. a. Donner la base canonique Bde M3,1(R).
b. Quelles sont les coordonnées du vecteur u=
4
−7
−12
dans la base B? 2. Montrer que E=
x y z
∈ M3,1(R)
2x−4y+ 3z= 0
est un s.e.v. de M3,1(R).
3. On considère la famille de vecteurs F =
2 1 0
;
−3 0 2
. a. Est-ce une base deM3,1(R)? Justier.
b. Expliquer brièvement pourquoi la famille F est libre.
c. En déduire une baseB0 et la dimension du s.e.v. G=V ect(F).
d. Le vecteuru appartient-il àG? Si oui, quelles sont ses coordonnées dans la baseB0 de G? Exercice II.
Soit la fonctionf dénie surR par f(x) = e2x−1
e2x+ 1. On pose ∀n∈N, In= Z ln(√
3) 0
(f(x))ndx. 1. Pourn∈N, justier l'existence deIn.
2. Calculer I0.
3. a. Dériver f, et en déduire son sens de variation surR.
b. Montrer que ∀x∈[0; ln(√
3)], 0≤f(x)≤ 1 2. c. En déduire, en intégrant, que ∀n∈N, 0≤In≤
1 2
n
ln(√ 3). d. Montrer alors que la suite(In)n∈N converge, et déterminer sa limite.
4. a. Déterminer deux réelsa etbtels que ∀X >0, X−1
X+ 1 =a+ bX X+ 1.
b. En déduire la valeur deI1. (On remplacera X par une quantité bien choisie.) 5. a. Montrer que ∀x∈R, (f(x))2+f0(x) = 1.
b. En déduire que ∀n∈N, In−In+2 = 1 (n+ 1)2n+1. 6. On pose ∀n∈N∗, Sn=
n
X
k=1
1 k2k.
a. ExprimerSn à l'aide des intégrales précédentes, et après simplication, montrer que Sn=I0+I1−In−In+1.
b. En déduire que la sérieX
n≥1
1
n2n converge, et a pour somme ln(2). 1/4
Exercice III.
On eectue une succession innie de lancers indépendants d'une pièce donnant Pile avec la probabilitép∈]0,1[
et Face avec la probabilitéq = 1−p.
On va s'intéresser dans ce problème aux successions de lancers amenant un même côté.
On dit que la première série est de longueurn∈N∗ si lesnpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le(n+ 1)e l'autre côté.
De même la deuxième série commence au lancer suivant la n de la première série et se termine (si elle se termine) au lancer précédant un changement de côté.
On dénit les évènements :
An={la1ere série est de longueurn}, pour n∈N∗. Bm ={la 2e série est de longueurm}, pour m∈N∗. Pk={leke lancer donne Pile} et Fk =Pk, pour k∈N∗. Partie A. Première série.
1. Exprimer An en fonction des évènements élémentaires Pk etFk, pourk variant entre1etn+ 1. 2. En déduire que P(An) =pnq+qnp.
3. Vérier que
+∞
X
n=1
P(An) = 1. 4. Que cela signie-t-il ?
5. Calculer la quantité E =
+∞
X
n=1
n.P(An), dont on admet qu'elle correspond à la longueur moyenne (encore appelée espérance) de la première série.
Partie B. Deuxième série.
1. Exprimer l'événement An∩Bm à l'aide des événementsPk etFk pour kvariant entre 1etn+m+ 1. 2. Calculer P(An∩Bm).
3. En utilisant la formule des probabilités totales, en déduire que pourm∈N∗, P(Bm) =p2qm−1+q2pm−1. 4. Vérier que
+∞
X
m=1
P(Bm) = 1.
5. Montrer que
+∞
X
m=1
m.P(Bm) = 2. 6. Interpréter ce dernier résultat.
2
Exercice IV.
Soit la fonctionf dénie surR par f(x) = ex
e2x+ 1. On donne e'2.7 et √ e'1.6 1. a. Justier brièvement le fait quef est de classeC∞ surR.
b. Montrer quef est strictement décroissante surR+.
c. Montrer qu'il existe un unique réel positifl tel que f(l) =l, et vérier que 0≤l≤ 1 2. d. Montrer que ∀x∈R+, |f0(x)| ≤f(x)≤ 1
2.
2. On considère la suite udénie par u0= 0, et, ∀n∈N, un+1=f(un). a. Représenter sur l'annexe les trois premiers termes de la suite.
b. Montrer que ∀n∈N, un∈
0;1 2
. c. Montrer que ∀n∈N, |un+1−l| ≤ 1
2|un−l|, puis que |un−l| ≤ 1
2 n+1
. d. En déduire la limite de la suite(un)n∈N.
e. Ecrire un programme Scilab permettant d'obtenir une valeur approchée de l à10−3 près.
Ce programme devra contenir une "fonction" : la fonction f.
Exercice V.
Calculer K= lim
n→+∞
n−1
X
k=0
4k 4k2+n2.
(On pourra utiliser les sommes de Riemann.)
3
NOM : Prénom :
4
