Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation

ECE 1 MATHEMATIQUES

DS 7 - Concours Blanc 2 - durée : 4h 13 juin 2017 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Exercice I.

On considère la fonction f dénie sur Rpar f(x) =





 3

x⁴ , six≥1 0 , six <1

. 1. Vérier que f est une densité de probabilité.

Soit X une variable aléatoire de densité f. 2. Donner X(Ω), en justiant brièvement.

3. Déterminer la fonction de répartition F_X deX.

4. Justier brièvement son existence, et vérier que E(X) = 3 2. 5. Si possible, calculer V(X).

6. On dispose d'un échantillon de 100réalisations de la loi de densitéf.

Donner un intervalle de conance de niveau 95% pour la moyenne de ces 100 valeurs, en prenant

√3'1.7

On rappelle le théorème central limite :

Si n est assez grand, et si X₁,..., X_n sont n réalisations indépendantes de la v.a. X, alors on peut considérer que la loi de X₁+...+X_n−n E(X)

√n σ(X) est proche d'une loi N(0; 1).

Par ailleurs, on rappelle aussi que si Y ,→ N(0; 1), alors P(−2< Y <2)'0.95 Exercice II. (Ecricome 2004)

Soit A=





1 1 1

−1 1 −1

−2 0 −2



. Les parties A. et B. sont indépendantes.

Partie A.

1. Rappeler la dénition d'une matrice inversible.

2. Calculer A² etA³

3. En déduire que ∀n≥3, Aⁿ= 0₃.

4. Pour tout réelt, on dénit la matriceE(t)par E(t) =I₃+tA+ t² 2A². a. Montrer que ∀(t, s)∈R², E(t)E(s) =E(t+s).

b. Pour tout tréel, calculer E(t)E(−t).

c. En déduire que E(t) est inversible et déterminer son inverse en fonction deI,A,A² ett. Partie B.

1. Soitf une application linéaire de matriceA. Calculer f



 x y z



, pour



 x y z



∈ M_3,1(R). 2. Déterminer Ker(f). Que peut-on en déduire ? 3. Déterminer Im(f). Que peut-on en déduire ?

1/3

Exercice III. (Edhec 2016) On rappelle que ∀q6= 1, ∀p∈N,

p

X

j=0

q^j = 1−q^p+1 1−q . Soitx∈[0; 1[.

1. Soitn∈N^∗ ett∈[0;x]. Calculer la somme

n

X

k=1

t^k−1. 2. En déduire, en intégrant sur[0;x], que

n

X

k=1

x^k

k =−ln(1−x)− Z x

0

tⁿ 1−tdt.

3. Établir par encadrement que ∀n∈N^∗, 0≤ Z x

0

tⁿ

1−tdt≤ 1

(n+ 1)(1−x). (On pourra majorer 1

1−t.) 4. En déduire lim

n→+∞

Z x 0

tⁿ 1−tdt.

5. Calculer alors la valeur de la somme

+∞

X

k=1

x^k k . 6. Créer un programme Scilab qui calcule

100

X

k=1

x^k k . Exercice IV.

On considère la fonction f dénie sur R^∗+ par f(x) =x^x=e^xln(x). 1. Calculer f(1).

2. Justier brièvement le fait que f est de classe C^∞ surR^∗₊. 3. Calculer lim

x→0⁺f(x). Que peut-on en déduire ? 4. Montrer que ∀x >0, f⁰(x) = (ln(x) + 1)e^xln(x). 5. Etudier alors la dérivabilité def en 0.

Que peut-on en déduire concernant la tangente à la courbe à l'origine ? 6. Etudier les variations de f surR^∗+.

7. Tracer l'allure de la courbe représentative de f.

2

Exercice V. (Ecricome 2014) Soit p∈]0; 1[ et q = 1−p.

On dispose dans tout l'exercice d'une même pièce dont la probabilité d'obtenir PILE vaut p. On considère une suite de lancers de la pièce.

On note, pour n∈N^∗ et k∈N^∗ :

Xn la v.a. égale au nombre de PILES obtenus lors des npremiers lancers de la pièce Fk ={La pièce donne FACE lors du k-ième lancer} et Pk=Fk

Y la v.a. égale au nombre de FACES obtenus avant l'apparition du second PILE, depuis le début de l'expérience.

Par exemple, si les lancers ont donné dans cet ordre : FACE, PILE, FACE, FACE, FACE, PILE, alors Y = 4.

On admet que les variables aléatoires X_n,n∈N^∗, et Y sont dénies sur un même espace probabilisé mo- délisant l'expérience.

1. Écrire un programme Scilab qui demande un réel p à l'utilisateur, puis qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu'à l'obtention du second PILE, et ache le nombre de FACE obtenus en tout.

2. Soitn∈N^∗. Déterminer sans calcul la loi de Xn.

Donner sans calcul la valeur de son espéranceE(X_n) et de sa variance V(X_n). 3. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoireY.

4. Calculer P(Y = 0) et P(Y = 1).

5. Soitn∈N. Justier que [Y =n] = [Xn+1= 1]∩Fn+2. (Faire des phrases !) 6. Prouver que ∀n∈N, P(Y =n) = (n+ 1)p²qⁿ.

7. Vérier par le calcul que

+∞

X

n=0

P(Y =n) = 1.

8. Démontrer que la variable aléatoire Y possède une espérance E(Y) et la calculer.

9. Soit k∈N^∗. On note Yk la variable aléatoire égale au nombre de FACES obtenus avant l'apparition duk-ième PILE. En particulier, on a Y2 =Y.

En généralisant la méthode utilisée dans les questions précédentes, déterminer la loi de Y_k.

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