TD 12 : Scilab Exercice 1 : Manipulations 1) Notons

(1)

TD 12 : Scilab

Exercice 1 : Manipulations 1) Notons 𝑥 = 1

√2𝜋𝑒⁻^1,5

2

2 et 𝑦 = ln(1 + 3√2)

Compléter les instructions x=... et y=... afin que les variables x et y soient affectées des réels définis ci-dessus.

2) Quel est l’affichage à l’issue de la ligne d’instructions suivante ?

--> x=5 , y=%pi , floor(y) , z=ans+x , ans=ans-3 , x-2 , x=ans-x

Exercice 2 : On considère le programme (script) suivant :

a=input(‘entrez la valeur de a :’) b=input(‘entrez la valeur de b :’) c=input(‘entrez la valeur de c :’) c=a+b , b=a+c , a=a*c

disp(c,b,a)

L’utilisateur en entré les valeurs 2, 3 et 4 au clavier.

Quel est alors l’affichage à l’issue de l’instruction disp(c,b,a) ?

Exercice 3 : Écrire un programme permettant d’échanger le contenu de deux variables.

Exercice 4 :

1) Notons, pour tout entier naturel non nul 𝑛, 𝑆_𝑛 = ∑ 1 𝑘²

𝑛

Écrire un programme qui calcule et affiche la valeur de 𝑆𝑘=1_𝑛 pour un entier naturel 𝑛 non nul entré au clavier par l’utilisateur.

2) Notons, pour tout entier naturel non nul 𝑛, 𝑃_𝑛 = ∏ (1 + 1 𝑘²)

𝑛

𝑘=1

Écrire un programme qui calcule et affiche la valeur de 𝑃_𝑛 pour un entier naturel 𝑛 non nul entré au clavier par l’utilisateur.

3) Soit (𝑢_𝑛) la suite définie par 𝑢₀ = 2 et , pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛+1 = 1 − 𝑒^−𝑢^𝑛

a) Écrire un programme qui calcule et affiche la valeur de 𝑢_𝑛 pour un entier naturel 𝑛 entré au clavier par l’utilisateur.

b) Écrire un programme qui calcule et affiche les termes 𝑢₀, 𝑢₁, … , 𝑢_𝑛 pour un entier naturel 𝑛 entré au clavier par l’utilisateur.

Exercice 5 :

Soit (𝑢_𝑛) la suite définie par 𝑢₀ = 1 et , pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛+1 = 1

2(𝑢_𝑛+ 2 𝑢_𝑛) On admet que la suite (𝑢_𝑛) converge vers √2.

Écrire un programme qui calcule et affiche le plus petit entier naturel 𝑛₀ tel que |𝑢_𝑛₀− √2| < 𝜀 pour un réel 𝜀 (aussi petit soit-il) entré au clavier par l’utilisateur.

Exercice 6 :

Écrire une fonction Scilab qui renvoie le plus petit de deux réels 𝑎 et 𝑏.

(2)

Exercice 7 :

1) Écrire une fonction Scilab qui, pour tout entier naturel 𝑛 renvoie 𝑛!

2) Écrire une fonction Scilab qui, pour tout couple d’entiers naturels (𝑛, 𝑘) renvoie (𝑛 𝑘).

Exercice 8 : Suite de Fibonacci

Soit (𝑢_𝑛) la suite définie par 𝑢₀ = 1, 𝑢₁ = 1 et , pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛+2 = 𝑢_𝑛+1+ 𝑢_𝑛

Écrire un programme qui calcule et affiche les termes 𝑢₀, 𝑢₁, … , 𝑢_𝑛 pour un entier naturel 𝑛 ≥ 2 entré au clavier par l’utilisateur.

Exercice 9 : Conjecture de Syracuse

Soit 𝑘 un entier naturel et (𝑢_𝑛) la suite définie par 𝑢₀ = 𝑘 et , pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛+1 = {

𝑢_𝑛

2 si 𝑢_𝑛 est pair 3𝑢_𝑛+ 1 si 𝑢_𝑛 est impair

La conjecture de Syracuse énonce que, quel que soit la valeur attribuée à l’entier 𝑘, on finit toujours par trouver un terme de la suite égal à 1, le suivant étant égal à 4 puis 2 puis 1 …

Cette conjecture a été énoncée il y a plus de 60 ans et n’a toujours pas été démontrée…

Écrire un programme qui calcule et affiche le plus petit entier 𝑛 tel que 𝑢_𝑛 = 1 pour un entier naturel 𝑘 entré au clavier par l’utilisateur.

Exercice 10 :

1) Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels tels que 𝑎 < 𝑏. Écrire un programme, en n’utilisant pas la fonction grand mais seulement la fonction rand, qui simule les valeurs prises par une variable aléatoire de loi uniforme sur ⟦𝑎, 𝑏⟧.

2) Soient 𝑛 ∈ ℕ^∗ et ∈ ]0,1[ . Écrire un programme, en n’utilisant pas la fonction grand mais seulement la fonction rand, qui simule les valeurs prises par une variable aléatoire de loi ℬ(𝑛, 𝑝).

Exercice 11 : D’après ECRICOME 2014

On considère la fonction 𝑓 définie sur [0; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = {

𝑥

ln(1 + 𝑥) si 𝑥 ∈ ]0; +∞[

1 si 𝑥 = 0

ainsi que la suite (𝑢_𝑛)_𝑛∈ℕ définie par : 𝑢₀ = 𝑒 et ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛+1 = 𝑓(𝑢_𝑛)

1. Déterminer le signe de 𝑓 sur l’intervalle [0; +∞[. En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛 existe.

2. Écrire un programme qui, pour une valeur 𝑁 fournie par l’utilisateur, calcule et affiche 𝑢_𝑁.

Exercice 12 : D’après EDHEC 2013

Soit (𝑢_𝑛) la suite définie par 𝑢₀ = 0 et , pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛+1 = 𝑢_𝑛² + 1 2 1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 0 ≤ 𝑢_𝑛 ≤ 1.

(b) Étudier les variations de la suite (𝑢_𝑛).

(c) Déduire des questions précédentes que la suite (𝑢_𝑛) converge et donner sa limite.

2. Écrire un programme qui calcule et affiche la plus petite valeur de 𝑛 telle que 0 < 1 − 𝑢_𝑛 < 10⁻³.

(3)

On considère l’application 𝜑 définie sur ℝ₊ par 𝜑(𝑥) = {1 − 𝑥²ln(𝑥) si 𝑥 > 0 1 sinon

On considère deux suites (𝑎_𝑛) et (𝑏_𝑛)définies par 𝑎₀ = √2, 𝑏₀ = 2 et, pour tout entier naturel 𝑛 : Si 𝜑(𝑎_𝑛)𝜑 (𝑎_𝑛+ 𝑏_𝑛

2 ) < 0, alors 𝑎_𝑛+1 = 𝑎_𝑛 et 𝑏_𝑛+1 =𝑎_𝑛+ 𝑏_𝑛 2 Si 𝜑(𝑎_𝑛)𝜑 (𝑎_𝑛+ 𝑏_𝑛

2 ) ≥ 0, alors 𝑎_𝑛+1 = 𝑎_𝑛+ 𝑏_𝑛

2 et 𝑏_𝑛+1= 𝑏_𝑛 Écrire un programme qui calcule et affiche 𝑎₇ et 𝑏₇.

(On pourra créer une fonction phi définie dans l’énoncé)

On considère l’application 𝜑 définie sur ℝ₊^∗ par :

𝜑(𝑥) = ln(𝑥) − ln(𝑥 + 1) +1 𝑥

1. Montrer que l’équation 𝜑(𝑥) = 1 admet une unique solution 𝛼 sur ℝ₊^∗ et que 1

3< 𝛼 < 1 2

2. Écrire un programme qui permet d’encadrer 𝛼 dans un intervalle d’amplitude 10⁻³.

On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = { 1

2𝑥² si 𝑥 ≤ −1 ou 𝑥 ≥ 1 0 sinon

Ainsi qu’une variable aléatoire 𝑋 définie sur un espace probabilisé (Ω, 𝒜, 𝑃) admettant 𝑓 comme densité.

On a déjà démontré, dans le TD9, que 𝑌 = ln(|𝑋|) suit la loi exponentielle de paramètre 1.

En posant 𝑍 = − ln(1 − 𝑈) où la variable 𝑈 suit la loi uniforme sur [0; 1[, on a montré de même que 𝑍 suit la loi exponentielle de paramètre 1.

Écrire un programme, en n’utilisant pas la fonction grand mais seulement la fonction rand, qui simule les valeurs prises par la variable aléatoire 𝑌.

Exercice 16 :

On rappelle que 𝑒 = ∑ 1 𝑘!

+∞

𝑘=0

et on admet que, ∀𝑛 ≥ 1, |𝑒 − ∑ 1 𝑘!

𝑛

𝑘=0

| ≤ 1 𝑛. 𝑛!

Compléter le programme suivant afin qu’il affiche une valeur approchée du nombre 𝑒 à 10⁻⁵ près : n=0, fact=1, erreur=1, s=1

while erreur >0,00001 n=n+1

fact=...

s=s+1/fact

erreur=...

end disp(s)

(4)

Dans cet exercice, 𝜃 désigne un réel strictement positif et 𝑛 un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On considère une variable aléatoire 𝑋 prenant ses valeurs dans ℕ et dont la loi est donnée par :

∀𝑘 ∈ ℕ, 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 1

1 + 𝜃( 𝜃 1 + 𝜃)

𝑘

On pose 𝑌 = 𝑋 + 1. On a déjà démontré que Y suit la loi géométrique de paramètre ¹

1 +𝜃. Compléter la fonction Scilab suivante pour qu’elle simule la loi d’une variable aléatoire X : function [X]=simul(theta),

Y=1

while ... do Y=Y+1, end X=...

endfunction

Dans cet exercice, 𝑝 désigne un réel de l’intervalle ]0;1[.

On dispose dans tout l’exercice d’une même pièce dont la probabilité d’obtenir PILE vaut 𝑝.

On effectue une succession illimitée de lancers de la pièce.

1. Écrire une fonction en Scilab d’en-tête :

function [x]=lancer(p) qui crée un nombre aléatoire dans l’intervalle [0;1] et renvoie 1 si ce nombre aléatoire est strictement inférieur à 𝑝 et 0 sinon.

2. Écrire une fonction en Scilab d’en-tête :

function [x]=premier_pile(p) qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu’à l’obtention du premier PILE et renvoie le nombre de lancers effectués.

Indication : si on le souhaite, on pourra utiliser la fonction lancer en la répétant convenablement.

3. Écrire un programme en Scilab qui demande un réel 𝑝 à l’utilisateur, puis qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu’à l’obtention du second PILE, et affiche le nombre de FACE obtenus en tout.

Indication : on pourra utiliser la fonction premier_pile en la répétant convenablement.