TD 12 : Scilab - Corrigé Exercice 1 : 1)

(1)

TD 12 : Scilab - Corrigé

Exercice 1 :

1) x=1/sqrt(2*%pi)*exp(-1.5^2/2) y=log(1+3*sqrt(2))

2) x=

5.

y=

3.1415926 ans=

3. (valeur affectée automatiquement à ans car non affecté à une variable) z=

8.

ans=

0.

ans=

3.

x=

-2.

Exercice 2 :

L’instruction disp(c,b,a) affiche en premier a, puis c, car inversion de l’ordre d’affichage.

entrez la valeur de a :2 entrez la valeur de b :3 entrez la valeur de c :4

10.

7.

5.

Exercice 3 :

a=input(‘entrez la valeur de a :’) b=input(‘entrez la valeur de b :’)

c=a // on sauvegarde le contenu de a dans une 3^ème variable a=b // on affecte à a la valeur de b

b=c // on affecte à b la valeur initiale de a sauvegardée dans c ou bien :

a=input(‘entrez la valeur de a :’) b=input(‘entrez la valeur de b :’)

c=b // on sauvegarde le contenu de b dans une 3^ème variable b=a // on affecte à b la valeur de a

a=c // on affecte à a la valeur initiale de b sauvegardée dans c

Exercice 4 : 1)

n=input(‘entrez la valeur de n :’) S=0

for k=1:n S=S+1/k^2 end

disp(u)

(2)

2)

n=input(‘entrez la valeur de n :’) P=1

for k=1:n P=P*(1+1/k^2) end

disp(P) 3) a)

n=input(‘entrez la valeur de n :’) u=2

for k=1:n u=1-exp(-u) end

disp(u) b)

disp(u)

for k=1:n u=1-exp(-u) disp(u)

end

Exercice 5 :

epsilon=input(‘entrez la valeur de epsilon :’) u=1

n=0

while abs(u-sqrt(2))>=epsilon do u=1/2*(u+2/u) n=n+1

end disp(n)

Exercice 6 :

function [z]=min(a,b),if a<b then z=a else z=b endfunction

Exercice 7 :

1) On utilise la propriété : 𝑘! = 𝑘(𝑘 − 1)!

function [z]=fact(n),z=1, for k=1:n z=z*k, end endfunction

2) Si 𝑘 > 𝑛, (𝑛 𝑘) = 0, sinon (𝑛

𝑘) =

𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!=𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑘 + 1)

𝑘(𝑘 − 1) … × 2 × 1 = 𝑛 − 𝑘 + 1

1 ×𝑛 − 𝑘 + 2

2 × …𝑛 − 1 𝑘 − 1×𝑛

𝑘 function [z]=coeffbin(n,k)

if k>n then z=0

else z=1,for i=1:k z=z*(n-k+i)/i end

end

endfunction

(3)

Exercice 8 : Suite de Fibonacci

v=1 disp(u) disp(v)

for k=2:n w=v, v=u+v, u=w disp(v)

end

Exercice 9 : Conjecture de Syracuse

La condition u==2*floor(u/2) est vraie lorsque u est pair et fausse lorsque u est impair.

k=input(‘entrez la valeur de k :’) u=k

n=0

while u<>1 do n=n+1

if u==2*floor(u/2) then u=u/2 else u=3*u+1 end

end disp(n)

Exercice 10 :

1) Les valeurs prises par une variable aléatoire de loi uniforme sur [𝑎, 𝑏], sont telles que : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ⇔ 0 ≤ 𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑏 − 𝑎 ⇔ 0 ≤ 𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎≤ 1

La fonction rand choisit un réel aléatoire dans l’ensemble [0; 1[, la fonction (b-a)*rand+a choisit alors un réel aléatoire dans l’ensemble [𝑎; 𝑏[ :

a=input(‘entrez la valeur de a :’) b=input(‘entrez la valeur de b :’) x=(b-a)*rand()+a

Si on se place maintenant sur ⟦𝑎, 𝑏⟧ = {𝑎; 𝑎 + 1; … ; 𝑏}, pour choisir un entier au hasard dans cet ensemble, on choisit un réel au hasard sur [𝑎; 𝑏 + 1[ et on prend sa partie entière :

a=input(‘entrez la valeur de a :’) b=input(‘entrez la valeur de b :’) x=floor((b+1-a)*rand()+a)

2) Pour simuler un événement de probabilité 𝑝, on utilise la condition rand()<p ou rand()<=p : n=input(‘entrez la valeur de n :’)

p=input(‘entrez la valeur de p :’) x=0

for k=1:n a=rand(), if a<=p then x=x+1 end

end disp(x)

(4)

Exercice 11 : D’après ECRICOME 2014

1. Pour tout 𝑥 > 0, ln(1 + 𝑥) > 0 donc 𝑓(𝑥) > 0 sur ]0; +∞[ et donc sur [0; +∞[.

Pour montrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛 existe, il suffit de montrer que chacun des termes de la suite est strictement positif ce qui est immédiat par récurrence.

2. N=input(‘entrez la valeur de N :’) u=%e

for k=1:N u=u/log(1+u) end

disp(u)

Exercice 12 : D’après EDHEC 2013

1. (a) On démontre ce résultat par récurrence :0 ≤ 𝑢₀ ≤ 1 donc vrai au rang 0.

Hérédité : on suppose que 0 ≤ 𝑢_𝑛 ≤ 1 pour un certain entier naturel 𝑛 et on montre que 0 ≤ 𝑢_𝑛+1 ≤ 1 0 ≤ 𝑢_𝑛 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 𝑢_𝑛² ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 𝑢_𝑛² + 1 ≤ 2 ⇒1

2≤𝑢_𝑛² + 1

2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 𝑢_𝑛+1 ≤ 1 Conclusion : pour tout entier naturel 𝑛, 0 ≤ 𝑢_𝑛 ≤ 1.

(b) Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛+1− 𝑢_𝑛 =𝑢_𝑛² + 1

2 − 𝑢_𝑛 = 𝑢_𝑛²+ 1 − 2𝑢_𝑛

2 =(𝑢_𝑛− 1)² 2 ≥ 0 on en déduit que la suite (𝑢_𝑛) est croissante.

(c) La suite (𝑢_𝑛) est croissante et majorée par 1 donc elle converge. Etant donné que la focntion définissant cette suite est une fonction polynôme donc continue sur ℝ, sa limite est une solution de l’équation :

𝑥 =𝑥²+ 1

2 ⇔𝑥² − 2𝑥 + 1

2 = 0 ⇔ 𝑥 = 1 Conclusion : La suite (𝑢_𝑛) converge vers 1.

2. Inutile de tester l’inégalité 1 − 𝑢_𝑛 > 0 car elle est vraie pour tout entier 𝑛.

u=0 n=0

while 1-u>=10^-3 do u=(u^2+1)/2,n=n+1 end

disp(n)

C’est la méthode appelée « dichotomie ». Définissons d’abord la fonction phi : function [z]=phi(x)

if x==0 then z=1

else z=1-x^2*log(x) end

endfunction

Puis programmons les termes des suites : a=sqrt(2),b=2

for k=1:7 if phi(a)*phi((a+b)/2)<0 then b=(a+b)/2 else a=(a+b)/2 end

end

disp(b,a)

(5)

On considère l’application 𝜑 définie sur ℝ₊^∗ par :

𝜑(𝑥) = ln(𝑥) − ln(𝑥 + 1) +1 𝑥 1. Voir corrigé ECRICOME 2010

Montrer que l’équation 𝜑(𝑥) = 1 admet une unique solution 𝛼 sur ℝ₊^∗ et que 1

3< 𝛼 < 1 2

2. On va raisonner par dichotomie, comme dans l’exercice 13 : on construit deux suites (𝑎_𝑛) et (𝑏_𝑛) qui encadrent 𝛼, on calcule l’écart 𝑏_𝑛− 𝑎_𝑛 et on s’arrête lorsqu’il est inférieur ou égal à 10⁻³.

La fonction 𝜑 étant décroissante, phi((a+b)/2)<1 signifie que 𝜑(𝑎) > 1 > 𝜑 (^𝑎+𝑏₂ ) et donc que 𝑎 < 𝛼 <^𝑎+𝑏₂

function [z]=phi(x), z=log(x)-log(x+1)+1/x endfunction

a=1/3,b=1/2

while b-a>10^-3 do if phi((a+b)/2)<1 then b=(a+b)/2 else a=(a+b)/2 end

end

disp(b,a)

Exercice 15 : D’après EDHEC 2010

On crée une fonction qui simule les valeurs prises par une variable de loi exponentielle de paramètre 1 en utilisant Z :

function [z]=expo(x), z=-log(1-rand()) endfunction

Exercice 16 :

n=0, fact=1, erreur=1, s=1 while erreur >0,00001

n=n+1

fact=fact*n s=s+1/fact

erreur=1/(n*fact) end

disp(s)

Exercice 17 : D’après EDHEC 2014 function [X]=simul(theta), Y=1

while rand()>1/(1+theta) do Y=Y+1, end X=Y-1

endfunction

(6)

Exercice 18 : D’après ECRICOME 2014 1.

function [x]=lancer(p),if rand()<p then x=1, else x=0,end endfunction

2.

function [x]=premier_pile(p),u=0,while lancer(p)=0 do u=u+1, end x=u

endfunction 3.

p=input(‘entrez la valeur de p :’)

function [x]=lancer(p),if rand()<p then x=1, else x=0,end endfunction

function [x]=premier_pile(p),u=0,while lancer(p)=0 do u=u+1, end x=u

endfunction

a=premier_pile(p)+premier_pile(p)-1 disp(a)