Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation

ECE 2 MATHEMATIQUES DS 2 - durée : 4h

9 octobre 2019

Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits. Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation. Barème approximatif sur 70.

Exercice I. (2 pts)

Déterminer la dimension du s.e.v. engendré par la famille F ={u₁, u2, u3, u4}, où u₁=





 1 1

−2





, u₂ =





 1

−3 1





, u₃ =





 2

−2

−1





 et u₄=







−7 5 5





. Exercice II. (2 pts)

Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels ? Justifier. Si oui, et si possible, en donner une base et leur dimension.

1. E=

(a, a, b,2b, c)∈R⁵ |(a, b, c)∈R³

2. F ={(u_n)n∈N | ∃M ∈R, ∀n∈N, un6M}, ensemble des suites majorées.

Exercice III. (7 pts)

On considère les matrices de M₂(R) : A = 0 1 0 1

!

, D = 0 0 0 1

!

, B = 1 0 0 0

!

, C =

1 2 2 0

! .

On noteEl’ensemble des matrices carréesM d’ordre2telles que AM =M D.

1. a. Vérifier queEest un sous espace vectoriel deM₂(R).

b. Soit M = x y

z t

!

∈ M₂(R).

Montrer queM appartient àEsi et seulement si z= 0 et y=t.

c. Etablir que(A, B)est une base deE.

d. Eest-il stable par produit matriciel ? (On pourra calculerBA.)

2. a. Vérifier queB⁰ = (A, B, C, D)est un base deM₂(R), et donner la matrice de passage de la base canoniqueBà la baseB⁰.

b. En utilisant cette dernière, calculer les coordonnées de la matrice 7 2

−4 8

!

dans la baseB⁰. Exercice IV. (6 pts)

1. Montrer que l’ensemble E = (

f ∈ C⁰([0,1],R)

Z 1 0

xf(x)dx= 0 )

est un sous-espace vectoriel de l’ensembleC⁰([0,1],R)des fonctions continues sur[0,1]à valeurs réelles.

Pourk∈N^∗, on définit la fonctionfksur[0,1]par fk(x) =x^k− 2 k+ 2. 2. Montrer que ∀k∈N^∗, f_k∈E.

3. Montrer que ∀n∈N^∗, la famille (f1, ..., fn) est libre.

4. En déduire queEest de dimension infinie.

5. Le sous-ensemble F = (

f ∈ C([0,1],R+)

Z 1 0

xf(x)dx= 0 )

deEconstitué des fonctions à valeurs positives est-il un espace vectoriel ? Justifier.

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9 octobre 2019

Exercice V. (3 pts)

Donner un équivalent simple deu_ndans les cas suivants, ainsi que la limite de la suite(u_n)n∈N: 1. u_n=

1 + 2

n 3

−1 2. u_n=

1− 1 n

4n

Exercice VI. (7 pts)

Soit la suite(un)n∈Nvérifiant ∀n∈N, un+1 = 3un

√un, avecu0>0.

1. Montrer que ∀n∈N, u_n>0.

On introduit la suite intermédiaire(t_n)n∈Ndéfinie par ∀n∈N, t_n= ln(u_n).

2. Justifier que la suite(t_n)n∈Nest arithmético-géométrique.

3. Déterminer l’expression det_nen fonction denett₀. 4. Vérifier alors que ∀n∈N, un= 1

9 ×(9u0)(³²)ⁿ ("9u0puissance (3/2 puissance n)").

5. Etudier la convergence de la suite(un)n∈Nen fonction deu0. Exercice VII. (9 pts)

On considère la suite(u_n)n∈Ndéfinie par u₀ ∈R et ∀n∈N, u_n+1= u²_n 2 −u_n. On a donc un+1 =f(un), en posant f(x) = x²

2 −x.

1. Déterminer les limites possibles de cette suite.

2. On suppose dans cette question uniquement queu0 est égal à l’un des réels trouvés à la question précédente.

Etudier la suite(u_n)n∈N.

3. Trouver un réela <0tel que siu0 =a, alors la conclusion est la même.

4. On suppose maintenant que u0 >4.

a. Montrer que ∀n∈N, un>4.

b. Etudier les variations de la suite.

c. Expliquer pourquoi la suite ne peut pas être majorée.

d. En déduire lim

n→+∞un. 5. Créer un programme Scilab qui :

— contient une fonction : la fonctionf

— demandeu₀ainsi qu’un entiernà l’utilisateur

— calculeu_n

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9 octobre 2019

Exercice VIII. (18 pts)

Dans un square, un enfant cherche à monter au sommet de la "cage à écureuil". Il s’agit d’une structure métallique que l’enfant doit escalader jusqu’à son sommet.

La cage est constituée de trois niveaux. L’enfant part du premier niveauA. Il cherche ensuite à atteindre le deuxième niveauB et enfin le troisième niveau qui est le sommetC.

On décompose l’ascension de l’enfant en une succession d’instants. On suppose qu’à l’instant 0, l’enfant se trouve sur le niveauA, puis que la montée se fait selon le protocole suivant :

— si à un instantndonné l’enfant est sur le niveauA, alors à l’instant suivantn+ 1, il y reste avec la probabilité1

3 et passe auBavec la probabilité 2 3.

— si à un instantndonné l’enfant est sur le niveauB, alors à l’instant suivantn+ 1, il y reste avec la probabilité1

3 et passe auCavec la probabilité 2 3.

— si à un instantndonné l’enfant est sur le niveauC, alors il y reste définitivement.

On définit, pourn∈N, les évènements :

An={l’enfant se trouve sur le niveauAà l’instantn}, et de manière analogueBnetCn. On note an=P(An), bn=P(Bn) et cn=P(Cn).

1. Déterminer les probabilitésa₀,a₁,b₁etc₁.

2. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que

∀n∈N, a_n+1= 1

3a_n, b_n+1 = 2 3a_n+1

3b_n, et exprimer de même c_n+1. 3. Montrer que ∀n∈N, an= 1

3ⁿ. 4. On pose, pourn∈N, vn= 3ⁿbn.

a. Montrer que la suite(v_n)n∈Nest arithmétique de raison 2.

b. En déduire, une expression dev_nen fonction den, puis établir que ∀n∈N, b_n= 2n 3ⁿ. 5. Expliquer pourquoi an+bn+cn= 1, puis en déduire une expression decnen fonction den.

6. Calculer lim

n→+∞cn. Comment interpréter le résultat ? Le modèle est-il réaliste ? 7. On noteXla variable aléatoire égale à l’instant où l’enfant atteint le sommet.

a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises parX.

b. Justifier que ∀n>2, [X =n] =Bn−1∩Cn. c. En déduire que ∀n>2, P(X=n) = 4(n−1)

3ⁿ , et vérifier que ceci définit bien une loi.

8. a. On note X1 la v.a. égale à l’instant où pour la première fois l’enfant quitte le niveau A pour arriver enB.

Justifier queX₁suit une loi usuelle. Donner l’ensembleX₁(Ω)des valeurs prises parX₁et don- nerP(X1 =k)pour tout entierkdeX1(Ω). CalculerE(X1).

b. On noteX2 la v.a. égale au nombre d’instants supplémentaires nécessaires à l’enfant pour at- teindre pour la première fois le niveauCune fois qu’il a atteint le niveauB.

Justifier queX₂suit la même loi queX₁.

c. Exprimer la variable aléatoireXen fonction deX1 etX2. En déduire queXadmet une espérance et queE(X) = 3.

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9 octobre 2019

Exercice IX. (16 pts)

Les questions 2 et 3 sont indépendantes.

On considère la fonctiongdéfinie surRpar g(x) =e^x−x.

Pour chaque entier natureln>2, on considère l’équation(E_n) :g(x) =n, d’inconnue le réelx.

1. a. Dresser le tableau des variations degen précisant les limites aux bornes.

b. Montrer que l’équation(En)admet exactement deux solutions, l’une strictement négative notée αnet l’autre strictement positive notéeβn.

2. Dans cette question on note(u_k)k∈Nla suite ainsi définie : ( u0=−1

u_k+1=e^uk −2, k∈N

a. On rappelle queα₂est le réel strictement négatif obtenu à la question1.b.lorsquen= 2.

Calculerg(−1)etg(−2), puis montrer que−2≤α₂ ≤ −1. (on donnee'2.7) b. Justifier quee^α2 −2 =α₂.

En déduire par récurrence ∀k∈N, α₂ ≤u_k ≤ −1.

c. Montrer que pour tous réelsaetbtels que a≤b≤ −1, on a 0≤e^b−e^a≤ 1

e(b−a).

d. Montrer que ∀k∈N, u_k+1−α2 =e^uk−e^α2. En déduire par récurrence ∀k∈N, 0≤uk−α2 ≤

1 e

k

. e. Montrer que la suite(u_k)_k∈

Nest convergente et de limiteα₂.

f. Recopier (et compléter) le programme suivant, pour qu’il renvoie une valeur approchée deα2

au millième :

(On admettra que le nombreeest renvoyé par la commande%e) u=...

k=...

while ...

u=...

...

end

disp(...)

3. On revient au cas général oùn≥2.

a. Montrer que 1≤g(lnn)≤n.

b. En déduire g(ln(2n))≥n. (on donneln 2'0.7)

c. Enfin, vérifier que ln(n)≤β_n≤ln(2n), puis établir que β_n ∼

n→+∞ln(n).

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