ECE 1 MATHEMATIQUES

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ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Surveillé 1 - durée : 4h 10 octobre 2018

Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

barème approximatif sur 52

Cours.

^{(1 pt)}

Rappeler la formule donnant la somme des n premiers cubes d'entiers naturels.

Exercice I.

^{(4 pts)}

Créer un programme Scilab qui :

comporte la fonctionf dénie par f(x) =x²−4x+ 2; trace son graphe sur[−5; 5].

Exercice II.

^{(4 pts)}

1. Développer A= 5(√

2−1)²−√

2 4−√ 2

. 2. Factoriser f(x) = (2x−3)(x−2)−(x−2)². 3. Calculer la somme S =

10

X

k=0

(k²−3k+ 2).

Exercice III.

(3 pts)

Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raison r =−3

2 et de premier terme u0 = 130 3 . 1. Calculer u₂₁.

2. Calculer S =

66

X

k=21

u_k.

Exercice IV.

^{(3 pts)}

Soit (u_n)_n∈_N la suite dénie par u₀ = 3 et ∀n∈N, u_n+1 = u_n 2u_n+ 5. 1. Montrer que ∀n∈N, un>0.

2. Etudier alors les variations de la suite.

Exercice V.

^{(2 pts)}

On considère les fonctions f et g dénies par f(x) =−3x+ 4 et g(x) = √ x. Déterminer l'ensemble de dénition et l'expression de g◦f.

Exercice VI.

^{(3 pts)}

Dériver la fonction f dans les cas suivants : 1. f(x) = 3

10x⁵−1

2x³−3 2. f(x) = xln(x)e^x

Exercice VII.

^{(3 pts)}

Déterminer l'expression de f sans valeur absolue, où f(x) = x− | −3x+ 6|.

1/3

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Exercice VIII.

(4 pts)

Résoudre dans R les équations suivantes : 1. (E) : ln(−x²+ 3) =−2

2. (F) : e^2x−6e^x+ 8 = 0

Exercice IX.

(7 pts)

Résoudre dans R les inéquations suivantes : 1. (I) :

3x−2 <4 2. (J) : 1

x+ 1 + 2 x−1 ≤1

(On pourra s'aider d'un tableau de signe. On donne √

17'4.)

Problème.

(13 pts)

On considère la fonction f, dénie par f(x) = ln(x⁴+ 1) + 5 x⁴+ 1. 1. Résoudre l'inéquation x⁴+ 1>0.

2. En déduireD_f. 3. Calculerf(0) et f(√

2). 4. Etudier la parité def.

5. Vérier que ∀x∈R, f(x)>0.

6. Montrer que pour x∈R, f⁰(x) = 4x³(x²+ 2)(x−√

2)(x+√ 2) (x⁴+ 1)² . 7. En déduire les tableaux de signe def⁰ et de variation de f surR.

(On ne cherchera pas à y faire apparaitre les limites aux bornes.)

8. Sur l'annexe, tracer l'allure de la courbe représentative C_f de f, en s'aidant des tangentes.

(On donne √

2'1.4 et ln(5)'1.6)

Suppléments

^{(5 pts)}

1. On considère la fonction f dénie par f(x) = 1 x+ 1.

Déterminer l'ensemble de dénition et l'expression de f◦f ◦f. 2. Montrer que la dérivée d'une fonction paire sur R est impaire sur R.

(On pourra dériver une composée.)

3. Etudier la parité de la fonction f dénie par f(x) = ln x+√

x²+ 1 . 4. a. Trouver a, b etc réels tels que k+ 7

k(k²−1) = a k−1 + b

k + c k+ 1. b. Calculer S =

n

X

k=2

k+ 7

k(k²−1), où n∈N^∗.

2

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NOM : Prénom :

Annexe

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