ECE 1 MATHEMATIQUES

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ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Surveillé 1 - durée : 4h 10 octobre 2018

Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

barème approximatif sur 57

Cours.

^{(1 pt)}

Rappeler la formule donnant la somme des n premiers cubes d'entiers naturels.

Exercice I.

(4 pts)

Créer un programme Scilab qui :

comporte la fonctionf dénie par f(x) =x² −4x+ 2; trace son graphe sur [−5; 5].

Exercice II.

(2 pts) Calculer la somme S =

10

X

k=0

(k²−3k+ 2).

Exercice III.

^{(3 pts)}

Soit (u_n)n∈N la suite dénie par u₀ = 3 et ∀n ∈N, u_n+1 = u_n 2u_n+ 5. 1. Montrer que ∀n ∈N, u_n >0.

2. Etudier alors les variations de la suite.

Exercice IV.

(2 pts)

Dériver la fonctionf dénie par f(x) =xln(x)e^x.

Exercice V.

^{(3 pts)}

Déterminer l'expression de f sans valeur absolue, où f(x) =x− | −3x+ 6|.

Exercice VI.

^{(4 pts)}

Résoudre dansR les équations suivantes : 1. (E) : ln(−x²+ 3) =−2

2. (F) : e^2x−6e^x+ 8 = 0

Exercice VII.

^{(7 pts)}

Résoudre dansR les inéquations suivantes : 1. (I) :

3x−2 <4 2. (J) : 1

x+ 1 + 2

x−1 ≤1

(On pourra s'aider d'un tableau de signe. On donne √

17'4.)

1/3

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Problème I.

^{(13 pts)}

On considère la fonctionf, dénie par f(x) = ln(x⁴+ 1) + 5 x⁴ + 1. 1. Résoudre l'inéquation x⁴+ 1 >0.

2. En déduire D_f. 3. Calculer f(0) etf(√

2). 4. Etudier la parité de f.

5. Vérier que ∀x∈R, f(x)>0.

6. Montrer que pour x∈R, f⁰(x) = 4x³(x²+ 2)(x−√

2)(x+√ 2) (x⁴+ 1)² . 7. En déduire les tableaux de signe de f⁰ et de variation de f surR.

(On ne cherchera pas à y faire apparaitre les limites aux bornes.)

8. Sur l'annexe, tracer l'allure de la courbe représentative C_f def, en s'aidant des tangentes.

(On donne √

2'1.4 et ln(5)'1.6)

Problème II.

(8 pts)

On considère la fonctionf, dénie sur R^∗ par f(x) = max 10

x; 5

+min 10

x

; 5

−5. 1. Calculer f(1), f(2),f

5 2

etf(3). 2. Résoudre dans R^∗ l'inéquation 10

x <5. 3. Justier que 10

x <5 ⇐⇒

10 x

<5. (On pourra séparer =⇒ et ⇐=.) 4. En déduire l'expression simpliée de f, suivant la valeur dex.

Quelques questions.

^{(10 pts)}

1. Simplier B =

√3 2 +√

3−(3√

3−5). 2. Montrer par récurrence que ∀n∈N,

n+1

X

k=1

k.2^k−1 =n.2ⁿ⁺¹+ 1. 3. On considère la fonction f dénie par f(x) = 1

x+ 1.

Déterminer l'ensemble de dénition et l'expression def ◦f◦f. 4. Montrer que la dérivée d'une fonction paire sur R est impaire sur R.

(On pourra dériver une composée.)

5. Etudier la parité de la fonction f dénie par f(x) = ln x+√

x²+ 1 . 6. a. Trouver a, b et créels tels que k+ 7

k(k²−1) = a k−1+ b

k + c k+ 1. b. Calculer S =

n

X

k=2

k+ 7

k(k²−1), où n ∈N^∗. 2

(3)

NOM : Prénom :

Annexe

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