ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 5 - durée : 4h 20 février 2019 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
Donner la dénition d'une série de Riemann et préciser les cas de convergence / divergence.
Exercice I.
Justier brièvement la convergence, et calculer les sommes suivantes : 1. A=
+∞
X
n=0
2
7n 2. B =
+∞
X
n=2
2n2−6n
5n 3. C=
+∞
X
n=1
3−2n+1 (n+ 1)!
Exercice II.
1. Déterminer la réciproque de l'application f :R−→
0;1
3
, vériant f(x) = 1 3 +e−2x. 2. Montrer que la fonctiong dénie par g(x) =e−x−√
x réalise une bijection deR+ sur un intervalleJ à préciser.
3. Soith:E −→F une application, etA⊂E. Comparer Aeth−1(h(A)). Exercice III.
On considère la fonction f dénie sur R+ par f(x) = √
x ln(x) si x >0 0 si x= 0 . On rappelle si besoin que (xα)0 =αxα−1, pour α∈Rxé.
1. Dire, en justiant, sur quel ensemble f est de classeC∞. 2. Calculer lim
x→0+f(x). Conclure quant à la continuité de f. 3. a. Etudier la dérivabilité en 0, et s'il existe, donner f0(0).
b. Que peut-on dire de la tangente à la courbe en0? 4. Vérier que ∀x >0, f0(x) = 1
2√
x(ln(x) + 2), et en déduire l'étude des variations def. 5. Vérier que ∀x >0, f00(x) =−ln(x)
4x√
x, puis étudier la convexité de f.
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Exercice IV.
On étudie une maladie saisonnière dans une population. En 2018, on avait les données suivantes : 20% de la population est vaccinée.
95% des personnes vaccinées ne sont pas malades.
6% de la population est malade.
On prend au hasard un individu dans la population, et on considère les évènements : V ={l'individu est vacciné} etM ={l'individu est malade}.
1. Traduire les données de l'énoncé avec des notations probabilistes.
2. Montrer que PV(M) = 1 16.
(On utilisera la formule des probabilités totales, et on pourra résoudre une équation.) 3. Comparer aux diérentes données, et commenter le résultat précédent.
4. On estime que :
-un individu qui a été malade en 2018 ne sera pas malade en 2019
-un individu qui a été vacciné (et pas malade) en 2018 a 5% de chances d'être malade en 2019 -un individu qui n'a pas été vacciné (et pas malade) en 2018 a 6% de chances d'être malade en 2019 Quelle est la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans la population soit malade en 2019.
(On notera N ={l'individu est malade en 2019}, et on conservera les notations précédentes pour l'année 2018.)
Exercice V.
Deux joueurs A et B s'arontent à un jeu. Le premier à gagner deux manches consécutives remporte la partie.
On a observé que le joueur A gagne une manche donnée avec probabilitép∈[0; 1]. On noteq = 1−p On dénit les évènements :
Pk={le joueur A gagne lake manche }, Fk=Pk, pour k∈N∗,
An={le joueur A remporte la partie, à l'issue de lane manche}, pour n∈N∗. 1. Combien vaut P(A1)? Justier.
2. Exprimer A2,A3 etA4 en fonction des évènements élémentaires(Pk) et(Fk), et calculer leur probabilité.
3. De manière générale, exprimer A2m etA2m+1, pour m∈N∗, puis calculer leur probabilité.
4. Décrire par une phrase simple l'évènement A=
+∞
[
n=2
An. 5. Vérier que P(A) = p2(1 +q)
1−pq .
6. Sans aucun calcul, mais en expliquant la démarche, donner la probabilitéP(B) que le joueur B remporte la partie.
7. Vérier que P(A) +P(B) = 1. 8. Le jeu se termine-t-il ? Justier.
9. Application numérique : on suppose que p= 2 3.
CalculerP(A). (On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10−2 près.) 10. Que remarque-t-on ?
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Exercice VI.
On considère les matrices : P =
−1 1 2
1 1 1
1 0 −1
Q=
−1 1 −1 2 −1 3
−1 1 −2
A=
1 −3 3
−3 1 −3
−3 3 −5
D=
1 0 0
0 −2 0 0 0 −2
E=
1 0 0
0 1 1
0 −3 −1
Partie A.
1. Montrer queQ est l'inverse deP. 2. Vérier que A=P DQ.
3. a. Montrer que ∀n∈N, An=P DnQ. (On raisonnera par récurrence.) b. Expliquer pourquoi Dn=
1 0 0
0 (−2)n 0 0 0 (−2)n
. c. En déduire la matrice An.
Partie B.
On considère trois suites(an)n∈N,(bn)n∈N et(cn)n∈N telles que
a0 =−2 b0= 2 c0= 1
et ∀n∈N,
an+1=an−3bn+ 3cn
bn+1 =−3an+bn−3cn cn+1 =−3an+ 3bn−5cn
On introduit la matrice Xn=
an
bn cn
. 1. Donner X0.
2. Vérier que ∀n∈N, Xn+1=AXn. 3. Montrer que ∀n∈N, Xn=AnX0.
4. En déduire l'expression des suites (an)n∈N,(bn)n∈N et(cn)n∈N en fonction den.
5. Ecrire un programme scilab calculant le vecteur Xn, en utilisant la relation matricielle de la question 3.
Partie C.
1. a. En justiant, donner D−1.
b. Sans utiliser la méthode de Gauss, en déduire A−1, et expliciter ses coecients.
2. a. Trouver toutes les matrices de la forme F =
1 0 0 0 a b 0 c d
vériant F2=D. b. Vérier que E2=D, et donc que E est l'une d'entre elles.
c. En déduire une matrice B telle que B2 =A.
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