ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 2 - durée : 4 h 10 décembre 2011 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition de deux suites adjacentes.
2. Enoncer le théorème des gendarmes pour les suites.
3. Enoncer la formule du binôme, et la démontrer.
Exercice I.
Déterminer le nombre d'anagrammes des mots : 1. ACTION et 2. ANAGRAMME.
Exercice II.
Une main au poker contient5 cartes, issues d'un jeu de52 cartes.
Il y a4 "couleurs" : trèe, pique, coeur, carreau.
Il y a13 hauteurs : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as.
1. Donner, en justiant, le nombre de mains possibles au poker.
2. a. Montrer qu'il y a 24 mains qui contiennent trois rois et deux 8 ? (full aux rois par les 8) b. En déduire le nombre total de fulls. (3 cartes de même hauteur + 2 autres cartes de même
hauteur)
3. Combien y a-t-il de mains qui contiennent au moins trois trèes et un coeur ? Exercice III.
Soit la fonctionf dénie sur]1; +∞[par f(x) = (x−1) ln(x−1)−2x. SoitCf sa courbe représentative.
1. a. Vérier que f est continue sur]1; +∞[.
b. Déterminer les limites def aux bornes de son ensemble de dénition.
c. f est-elle prolongeable par continuité en 1? Justier.
d. Expliquer pourquoi l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution.
2. a. Montrer que ∀x >1, f0(x) = ln(x−1)−1.
b. En déduire l'étude des variations def.
c. Vérier que f admet un minimum au point d'abscisse e+ 1, et le calculer.
3. Montrer que f admet une branche parabolique et préciser de laquelle il s'agit.
4. On admet que e'2.7, ln(9)'2.2 et ln(15)'2.7. a. Calculer une valeur approchée de f(10)etf(16).
b. Sur l'annexe, placer les points remarquables, puis tracer l'allure deCf.
1/3
Exercice IV.
On dénit deux suites(un)n∈N et(vn)n∈N par : u0 = 3, v0= 7 et ∀n∈N, un+1= 2unvn
un+vn et vn+1 = un+vn
2 .
1. a. Démontrer par récurrence sur n∈Nque les deux suites sont à termes strictement positifs.
b. En déduire que ∀n∈N, un≤vn. (On pourra calculer directement vn+1−un+1.) c. Etudier la monotonie des suites (un)n∈N et(vn)n∈N.
2. a. Montrer que ∀n∈N, vn+1−un+1 ≤ 1
2(vn−un). b. Vérier alors que ∀n∈N, 0≤vn−un≤ 1
2n(v0−u0). c. En déduire lim
n→+∞(vn−un).
3. Déduire des questions précédentes que les deux suites sont convergentes.
4. Montrer que la suite produit (unvn)n∈N est constante.
5. En déduire alors la limite des suites (un)n∈N et(vn)n∈N.
6. Créer un programme informatique permettant, pour un entier naturel nentré par l'utilisateur, de calculer et acher les termes jusqu'à un etvn, avec3 chires après la virgule.
2
NOM : Prénom :
ANNEXE
3
