ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,

00 MATH. I - PC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURDS D’ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVE FILIÈRE PC

(Durée de l’épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

L’emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC.

L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 5 pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Dans tout le problème n est un entier naturel supérieur ou égal à 2  n ˜ 2 à . Soit

B =  e 1 , e 2 , ..., e n à la base canonique de l’espace vectoriel complexe C ⁿ . A un vecteur X de l’espace vectoriel C ⁿ , de coordonnées x 1 , x 2 , ..., x n , est associée la matrice V  X à dont les éléments V  X à p,q , 1 — p — n, 1 — q — n, sont définis par la relation :

V  X à p,q =  x p à ^q?1 .

Le déterminant vÂXÃ de la matrice VÂXÃ est un déterminant de Van der Monde ; il est admis que sa valeur est donnée par la relation suivante :

vÂXÃ = det VÂXÃ = <

1 —p<q—n

 x q ? x p à .

Il est admis que l’application q . q de l’espace vectoriel complexe C ⁿ dans R ⁺ : X Ð q X q =

1 —p—n

sup |x p |, est une norme. Soit E n l’espace vectoriel normé  C ⁿ , q.qà .

Le but du problème est de montrer qu’à cette application v de E n dans C peut être associé un réel _ tel que, pour tout vecteur X de E n la relation suivante a lieu :

|vÂXÃ| — _ qXq ^{n Ân?1Ã/2} ,

où le réel _ est une valeur prise pour un vecteur unitaire particulier W :

_ = |v W Ã|, avec : qW q = 1.

1. Définition du réel _ : L’entier n est fixé  n ˜ 2 à .

a. Comparer pour tout vecteur X de l’espace vectoriel normé E n et tout nombre complexe V les deux expressions v ÂV .X à et v  X à .

En particulier, étant donné un vecteur X de E n , soit Y un vecteur de E n de norme unité vérifiant la relation : X = q X q .Y ; exprimer le nombre complexe v  X à en fonction de v  Y à et de qXq.

b. Démontrer que l’application v de l’espace vectoriel normé E n dans C est continue. En déduire que l’application continue X Ð |v  X à | admet un maximum sur la sphère unité S,

S = Æ X 5 E n P qX q = 1 Ç ,

atteint pour au moins un vecteur W. Soit _ le maximum de cette fonction sur la sphère unité : _ =

qXq=1 max |v  X Ã|.

c. Démontrer les deux relations :

i. pour tout vecteur X de E n , |vÂXÃ| — _ qXq ^{n Ân?1Ã/2} ; ii. il existe au moins un vecteur unitaire W de E n tel que

|v W Ã| = _ . 2. Cas n = 2 :

Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S : S = Æ X 5 E 2 P qX q = 1 Ç .

Déterminer le maximum _ de la fonction X Ð |v  X à | sur la sphère unité. Démontrer que les vecteurs unitaires qui rendent maximum |v  X à | sont proportionnels à un même vecteur X 1 dont la première coordonnée est égale à 1. Les déterminer.

3. Cas n = 3 :

a. Etant donnés trois réels positifs ou nuls t 1 , t 2 et t 3 , t i ˜ 0, 1 — i — 3 démontrer l’inégalité suivante

t 1 .t 2 .t 3 — 1

27 Â t 1 + t 2 + t 3 Ã ³ .

Démontrer que l’égalité a lieu si et seulement si les trois réels t 1 , t 2 , t 3 sont égaux.

b. Etant donnés trois nombres complexes x 1 , x 2 et x 3 , soient A, B et C les trois fonctions des variables x 1 , x 2 et x 3 définies par les relations suivantes :

A = |x 1 ? x 2 | ² + |x 2 ? x 3 | ² + |x 3 ? x 1 | ² B = >

k =1 3

|x k | ² ; C = >

k =1 3

x k 2

.

Démontrer que A est une combinaison linéaire de B et de C.

c. Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S : S = Æ X 5 E 3 P q X q = 1 Ç .

d. Calculer, pour un vecteur X quelconque de l’espace E 3 , l’expression |v  X Ã| ² . En déduire une valeur possible pour le réel _. Déterminer les équations que vérifient les coordonnées x 1 , x 2

et x 3 d’un vecteur W unitaire rendant |v  W Ã| maximum. Exhiber une solution à l’aide des racines cubiques de l’unité. En déduire le réel _.

4. Une minoration du réel _ :

Soit I le vecteur unitaire dont les coordonnées g p , 1 — p — n, sont définies par la relation : g ^p = e ^{2i Âp?1Ã^/n} = exp 2 i  p ? 1 à ^

n .

a. V ÂIÃ est la matrice définie à partir du vecteur I ; V ÂI Ã est la matrice complexe conjuguée. Démontrer que la matrice produit V ÂIÃ .V ÂIÃ est une matrice proportionnelle à la matrice identité.

b. En déduire la valeur du module |v ÂI Ã | du déterminant de la matrice V ÂIÃ et une minoration du réel _ .

5. Une inégalité de Hadamard :

Dans cette question il est admis que l’application de C ⁿ ¼ C ⁿ dans C qui, à deux vecteurs X =  x i à 1 —i—n et Y =  y i à 1 —i—n , fait correspondre le nombre complexe  X P Y à , défini par la relation suivante

 X P Y à = >

i =1 n

x i .y i ,

est un produit scalaire hermitien. Soit F n l’espace préhilbertien  C ⁿ ,  . P . Ãà .

La norme déduite de ce produit scalaire est notée q.q 2 ; elle est définie par la relation : qXq 2 = Â X P X Ã = >

i =1 n

|x i | ² .

Etant donnée une suite de n vecteurs indépendants V 1 , V 2 , ..., V n de l’espace préhilbertien F n , soit M V 1 , V 2 , ..., V n la matrice carrée d’ordre n dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs V 1 , V 2 , ..., V n .

a. Déterminer, lorsque les vecteurs V 1 , V 2 , ..., V n sont deux à deux orthogonaux, le produit B de la matrice transposée de la matrice complexe conjuguée de la matrice M V 1 , V 2 , ..., V n avec la matrice M V 1 , V 2 , ..., V n :

B = ^t M V 1 , V 2 , ..., V n .M V 1 , V 2 , ..., V n . Que vaut le module du déterminant de la matrice M V 1 , V 2 , ..., V n ?

b. Soit U 1 , U 2 , ..., U n les vecteurs de l’espace F n définis de la manière suivante : 6 U 1 = V 1 ,

6 U 2 = V 2 ? proj 1 Â V 2 Ã ; proj 1 Â V 2 Ã est le vecteur projection du vecteur V 2 sur la droite

vectorielle engendrée par V 1 ,

6 pour tout entier i compris entre 3 et n  3 — i — n à : U i = V i ? proj i ?1  V i à ; proj i ?1  V i à est le vecteur projection du vecteur V i sur l’espace vectoriel engendré par les vecteurs V 1 , V 2 , ..., V i ?1 .

Démontrer l’égalité entre les déterminants des deux matrices M V 1 , V 2 , ..., V n et M U 1 , U 2 , ..., U n :

det M U 1 , U 2 , ..., U n = det M V 1 , V 2 , ..., V n . c. Déduire des résultats précédents l’inégalité :

det M V 1 , V 2 , ..., V n — qV 1 q 2 .qV 2 q 2 ...qV n q 2 .

Démontrer, lorsque les vecteurs V 1 , V 2 , ..., V n sont tous différents de 0, qu’il y a égalité entre les deux membres de cette relation si et seulement si les vecteurs V 1 , V 2 , ..., V n sont deux à deux orthogonaux.

6. Une majoration du réel _ :

Démontrer pour tout vecteur X de l’espace vectoriel E n , de coordonnées x 1 , x 2 , ..., x n , l’inégalité suivante :

|v X Ã| ² — <

q =1 n >

p =1 n

|x q | ^{2 Âp?1Ã} .

Déterminer pour un vecteur X unitaire ÂqX q = 1 à de l’espace vectoriel E n une majoration du module |v  X Ã|. En déduire la valeur du réel _ .

7. Recherche des vecteurs W :

Soit W un vecteur unitaire de l’espace E n , de coordonnées x p , 1 — p — n, pour lequel le déterminant v  W à de la matrice V  W à a un module égal au réel _ = n ^n/2 :

|v W Ã| = n ^n/2 .

a. Démontrer que les coordonnées x p , 1 — p — n de ce vecteur W sont deux à deux différentes l’une de l’autre :

pour tout couple d’entiers p et q, p “ q, x p “ x q .

b. Démontrer, en utilisant par exemple l’inégalité de Hadamard, que les coordonnées

x 1 , x 2 , ..., x n , de ce vecteur ont toutes un module égal à 1 et vérifient les n ? 1 relations suivantes :

>

p =1 n

x p = 0, >

p =1 n

 x p à ² = 0, ..., >

p =1 n

 x p à ^{n ?1} = 0.

A ce vecteur W est associé le polynôme P W défini par la relation suivante : pour tout réel t, P W  t à = <

p =1 n

 t ? x p à .

Ce polynôme P W peut aussi être écrit sous la forme :

P W Âtà = >

k =1 n

J k t ^k .

c. Que vaut le coefficient J n ? Démontrer qu’il est possible de poser J 0 = ?e ^{i S}

où S 0 est un réel.

Soit F W la fraction rationnelle définie par la relation : F W  t à = P W ´  t Ã

P W  t à . P _W ^´  t à est le polynôme dérivée du polynôme P W .

d. Démontrer que, sur l’ensemble de définition de la fraction rationnelle F W , la relation ci-dessous a lieu. :

F W  t à = >

p =1 n

t ? 1 x p .

En déduire qu’il existe un réel R Â R > 0 Ã tel que sur l’intervalle ouvert Å? R, R Ä la fonction F W est développable en série entière. Déterminer un minorant du réel R.

La fonction F W est donc dans l’intervalle Å?R, R Ä la somme d’une série entière qui s’écrit : F W  t à = >

k =0 K

f k t ^k .

e. Déterminer les coefficients f k , k = 0, 1, ..., à l’aide des coordonnées du vecteur W. Quelle conclusion en tirer sur les n ? 1 premiers coefficients f 0 , f 1 , ..., f n ?2 ?

f. Déduire des résultats précédents l’expression du polynôme P W ´ , polynôme dérivée du polynôme P W . Déterminer le polynôme P W , puis les coordonnées x p , 1 — p — n du vecteur W.

Calculer, à titre de vérification, les normes de ce vecteur dans E n et dans F n c’est-à-dire qWq et qWq 2 .

g. Combien y-a-t-il de vecteurs W dont une au moins des coordonnées est égale à 1 ?

FIN DU PROBLÈME