NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 2 - durée : 4 h ECE 1 25 novembre 2009
Barème approximatif sur 40
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Si un cancidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursui- vra sa composition, en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les questions de dénombrement (Exercices I. et II.) devront être justiées, de manière brève et claire.
Cours. (5 pts)
1. Donner la valeur de
n
X
k=0
k2.
2. Enoncer le théorème des gendarmes.
3. Rappeler la formule du triangle de Pascal, et la démontrer.
Exercice I. (8 pts)
SoitE l'ensemble des nombres de 4chires ne comportant aucun 0. 1. De quels chires peut-être constitué un tel nombre ?
2. DéterminerCard(E).
3. Combien y a-t-il d'éléments de E constitués de chires tous distincts ? 4. Combien y a-t-il d'éléments de E constitués de 2chires pairs exactement ? 5. Combien y a-t-il d'éléments de E dont les chires forment une suite croissante ? 6. Soitnetp deux entiers vériant1≤p≤n≤10.
Combien y a-t-il de nombres, de10 chires non nuls, tels que le pe "un" soit en ne position ? Exercice II. (6 pts)
Le CAC 40, principal indice de la bourse de Paris, est calculé à partir des cours de bourse de 40 entreprises.
Les 5 plus grandes capitalisations cotées au CAC 40 sont : Total, EDF, GDF Suez, Sano-Aventis et BNP Paribas. Appelons les "actions principales".
Un investisseur décide de se constituer un portefeuille de 7 actions quelconques du CAC 40.
1. Combien y a-t-il de portefeuilles possibles ? Combien y a-t-il de portefeuilles constitués : 2. des 5 actions principales ?
3. d'au moins une des actions principales ?
4. d'au plus trois des actions principales, sachant que Total sera choisie ?
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Exercice III. (8 pts)
On considère la suite udénie par :
un+1= un
1 + 2 n
, pourn∈N∗ u1 = 1
1. a. Montrer par récurrence que ∀n∈N∗, un>0.
b. Déterminer le sens de variation de la suite u.
2. En déduire que la suiteu est convergente.
3. a. Montrer que∀n∈N∗, un= 2 n(n+ 1). b. En déduire lim
n→+∞un.
c. Compléter le programme Turbo Pascal ci-contre, pour qu'il acheun, pour un n∈N∗.
(Ne pas oublier de le rendre avec votre nom)
PROGRAM calcul_u_n ; VAR ...
...
BEGIN
writeln('Donner un entier n') ; readln(n) ;
u :=...
FOR k :=... TO ... DO ...
writeln('u(n)=',...) ; END.
Problème. (13 pts)
On admet le Théorème : ∀a >1,∀b∈R, lim
n→+∞(an+bn) = +∞
1. Soit le polynômeP déni parP(x) =x3+1
2x2−2x− 3 2. a. Montrer que−1 est racine du polynômeP.
b. Trouver les réelsα etβ tels queP(x) = (x+ 1)(x2+αx+β). (méthode au choix) c. En déduire toutes les racines de P.
2. On considère l'ensemble E des suites réelles (un)n∈N vériant l'égalité :
∀n∈N, 2un+3+un+2−4un+1−3un= 0.
a. Soit les suites x,y etz de termes généraux respectifsxn= 3
2 n
,yn= (−1)n, etzn=n(−1)n Montrer quex∈E. (on admet que y et z sont aussi des éléments de E)
b. Soit(un)n∈N l'élément de E déni paru0= 0,u1 = 8 etu2 =−7 2. Chercher trois réelsa,betc tels que la relation
(Rn) :un=axn+byn+czn soit vériée pour n= 0,n= 1 etn= 2.
c. Montrer alors par récurrence triple sur n ∈ N que la relation (Rn) est vériée pour tout entier natureln. (question dicile)
d. En déduire l'expression deunen fonction de n. 3. On s'intéresse à la suiteu dénie à la question 2.b.
a. Montrer, sans récurrence, que∀n∈N, un≥2 3
2 n
−3n−2. b. En déduire la limite de cette suite.
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