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Mr LATELI Ahcene
Fonctions réelles d'une variable
réelle
M
RLATELI A
HCENE1.0
Légende
Entrée du glossaire
Abréviation
Référence Bibliographique
Référence générale
Table des
matières
I - Chapitre I : Généralités 5
A. Ensemble de définition...5
B. Exercice...6
C. Fonctions monotones...6
D. Fonction paire, impaire...7
E. Fonctions périodiques...7
F. Fonctions bornées...8
G. Opérations sur les fonctions...8
H. Évaluation formative...9
1. La parité...9
2. Exercice : Périodicité d'une fonction...9
3. Exercice : Exercice 3...10
Questions de synthèse 13
Glossaire 15
Bibliographie 19
Webographie 21
I -
Chapitre I :
Généralités I
Ensemble de définition 5
Exercice 6
Fonctions monotones 6
Fonction paire, impaire 7
Fonctions périodiques 7
Fonctions bornées 8
Opérations sur les fonctions 8
Évaluation formative 9
A. Ensemble de définition
Définition
On appelle fonction réelle d'une variable réelle toute application d'une partie non vide de à valeurs dans .
On note alors .L'ensemble s'appelle l'ensemble (ou domaine) de définition de la fonction .
Généralement, on note l'ensemble de définition d'une fonction donnée par une telle expression.
.
Exemple
1. La fonction est définie sur .
2. La fonction est définie sur
.
Définition : Graphe d'une fonction
Dans un plan rapporté à un repère (généralement orthonormé). Les points avec constituent la courbe représentative de , noté .
.
Graphe d'une fonction
B. Exercice
La fonction d'une variable réelle définie par sur le domaine
C. Fonctions monotones
Définition
Soit une fonction d'une variable réelle. Soit .
1. On dira que est croissante ( . décroissante) sur si pour tout couple , tel que nous avons :
( . ).
Une fonction qui est croissante ou décroissante sur sera dite monotone sur .
2. On dira que est strictement croissante ( . strictement décroissante) sur si pour tout couple , tel que nous avons
: ( . ).
Une fonction qui est strictement croissante ou strictement décroissante sur sera dite strictement monotone sur .
Chapitre I : Généralités
Exemple
1. La fonction définie sur est strictement décroissante sur et strictement croissante , car tel que nous avons :
D'autre part on a : tel que nous avons :
2. Donc la fonction est strictement monotone sur et sur .
D. Fonction paire, impaire
Définition : La parité
Soit une fonction d'une variable réelle. Nous supposons que pour tout réel , le réel .
Nous dirons alors que la fonction est paire ( . impaire) pour tout réel , nous avons :
( . ).
Exemple
La fonction cosinus est paire sur l'intervalle .
La fonction sinus est impaire sur l'intervalle .
E. Fonctions périodiques
Définition : La périodicité
Soit une fonction d'une variable réelle et un réel strictement positif.
Nous dirons que la fonction est périodique de période ( ou encore -
périodique ) si pour tout ,
Chapitre I : Généralités
Remarque
est la plus petite période qui vérifie la Définition précédente
Exemple
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période .
Les fonctions tangente et cotangente sont périodiques de période .
Remarque
Si est de période alors :
1. : , .
2. , la fonction est de période .
Exemple
1. .
2. Soit :
F. Fonctions bornées
Définition
Soit une fonction d'une variable réelle. Nous dirons que est majorée (resp. minorée) sur s'il existe un réel (resp. ) tel que pour tout , nous
ayons (resp. ).
Une fonction numérique qui est à la fois majorée et minorée, est dite bornée .
Exemple
1. La fonction est bornée, .
2. La fonction est non bornée, mais elle est minorée par 0,
car : .
G. Opérations sur les fonctions
Chapitre I : Généralités
Définition
Soit . On note l'ensemble des applications de dans .
Soient et et , on définit de nouvelles fonctions, appartenant à , par :
, , et .
H. Évaluation formative
Objectifs
Tester la compréhension
1. La parité La parité
Compréhension Q u e s t i o n 1
Étudier la parité des fonctions suivante :
1. ,
2. ,
Q u e s t i o n 2
Étudier la parité des fonctions suivante :
1. ,
2.
2. Exercice : Périodicité d'une fonction
Exercice 1
La fonction est périodique de période :
Chapitre I : Généralités
Exercice 2
La fonction est périodique de période :
3. Exercice : Exercice 3
Choisissez la (les) bonne (s) réponse (s):
La fonction est :
Définie si, et seulement si, . Définie si, et seulement si, . Bornée sur .
Impaire sur . Paire sur
Monotone sur
Chapitre I : Généralités
Questions de
synthèse
Montrer que la fonction , est bornée et paire sur .
Montrer que la fonction , est strictement monotone et bornée sur .
Glossaire
Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 sur le quel on définit un sens de parcours : sens trigonométrique direct ou indirect.
Continuité en un point
On dit que f est continue en x₀ si et seulement si la limite de f(x) est égale f(x )₀ lorsque x tend vers x₀.
Continuité sur un intervalle
f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.
Cosinus
Soit M un point du cercle trigonométrique.
On appelle cosinus de l'angle (OI, OM), l'abscisse du point M.
Domaine de définition
ou ensemble de départ d'une fonction réelle d'une variable réelle Ensemble des éléments pour lesquels la fonction f est définie.
Ensemble d'arrivée
ou image d'une fonction réelle d'une variable réelle est f(D)={y / y=f(∈ ℝ x), x D∈ }.
Extremum d'une fonction
Un extremum est un minimum ou un maximum.
Fonction bijective
Fonction injective et surjective à la fois.
Fonction bornée
f est bornée, si f est à la fois majorée et minorée c'est-à-dire:
m,M , tel que x D, m≤f(x)≤M
∃ ∈ℝ ∀ ∈ .
Fonction croissante
x ,x I, tel que x <x f(x )≤f(x )
∀ ₁ ₂ ∈ ₁ ₂⇒ ₁ ₂ .
Fonction dérivable au point x₀
f est dérivable au point x₀ si et seulement si la quantité f(x)-f(x ) / x-x ₀ ₀admet une limite finie lorsque x tend vers x₀.
Fonction dérivable sur un intervalle
f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I.
Fonction dérivée
La fonction dérivée ou dérivée de f sur I est la fonction f′ qui a tout x de I associe f′(x).
fonction monotone
Une fonction qui est croissante ou décroissante.
Fonction polynôme de degré 1
Une fonction polynôme de degré un f est une fonction dépendant de deux paramètres réels α et β et définie pour tout x∈ℝ par : f(x)=αx+β où α≠0.
Fonction polynôme de degré n
Un polynôme de degré n est une fonction f dépendant de n+1 paramètres réels α ,α²,...,αⁿ⁰ et définie par f(x)=αⁿxⁿ+αⁿ ¹xⁿ ¹+...+α¹x+α⁻ ⁻ ⁰ où αⁿ≠0.
Fonction strictement croissante
x ,x I
∀ ₁ ₂∈ , tel que x <x f(x )<f(x )₁ ₂⇒ ₁ ₂ .
Fonction strictement décroissante
x ,x I
∀ ₁ ₂∈ , tel que x <x f(x )>f(x )₁ ₂⇒ ₁ ₂ .
fonction strictement monotone
Une fonction qui est strictement croissante ou strictement décroissante.
Fraction rationnelle
Une fraction rationnelle se présente sous la forme P(x)/Q(x),où P(x),Q(x) sont des polynômes à coefficients dans ℝ (ou ℂ ).
Graphe ou courbe représentative d'une fonction réelle d'une variable réelle
Ensemble des points M de coordonnées (x,y) avec x D∈ et y=f(x).
Parité d'une fonction numérique
En mathématiques, la parité d'une fonction d'une variable réelle, complexe ou vectorielle est une propriété qui requiert d'abord la symétrie du domaine de définition par rapport à l'origine, puis s'exprime par l'une ou l'autre des relations suivantes :
1. fonction paire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = f (x) ; 2. fonction impaire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = −f (x).
Sinus
Soit M un point du cercle trigonométrique. On appelle sinus de l'angle (OI,OM), Glossaire
Voisinage de point x₀
Tout intervalle ouvert de ℝ contenant x₀ : ∀α>0, ]x -α,x +α[₀ ₀ est un voisinage de x₀.
Glossaire
Bibliographie
[BELAIDI Benharrat] Analyse mathématique Exercices Corrigés. Office Des Publications Universitaires ( Alger ), 05-2013 ; 1.01.5364.
[HITTA Amara] Cours Algèbre et Analyse I. Université 8 Mai 1945 - Guelma
[MEHBALI Mohamed] Mathématiques 1 Fonction d'une variable réelle. Office Des Publications Universitaires ( Alger ), 01-2013 ; 1.01.5048.
[Wieslawa J. Kaczor, Maria T. Nowak, Traduction : Eric Kouris] PROBLÈMES D'ANALYSE II Continuité et dérivabilité. EDP Sciences (France), 2008 (03)
Webographie
[mp.cpgedupuydelome] [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 janvier 2014
[wikipedia] http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=89849582
[wikipedia] Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=100567156
