une suite de fonctions réelles de la variable réelle continues, d’un intervalle

PanaMaths

[1 - 2]

Décembre 2011

Soit ( ) ^f

ⁿ

une suite de fonctions réelles de la variable réelle continues, d’un intervalle

^⎡_⎣

a b ;

^⎤_⎦

dans un intervalle

^⎡_⎣

c d ;

^⎤_⎦

.

Soit ( ) ^g

ⁿ

une suite de fonctions réelles de la variable réelle continues, de l’intervalle

^⎡_⎣

c d ;

^⎤_⎦

dans \ .

On suppose que les suites ( ) ^f

ⁿ

^{et ( ) g}

ⁿ

convergent uniformément vers les fonctions f et g respectivement.

Montrer que la suite ( ^g

ⁿ

^{D f}

ⁿ

) converge uniformément vers g f D .

Analyse

En partant de

(

gnDfn

)( ) (

x − gDf

)( )

x , on est classiquement amené à effectuer un

découpage en vue de la majoration. Si l’on doit exploiter la convergence uniforme des suites

( )

fn et

( )

gn , on se rend vite compte que le fait que ces fonctions soient définies sur des segments est une donnée fondamentale …

Résolution

Remarquons dans un premier temps que les fonctions f et g sont continues comme limites uniformes de suites de fonctions continues. Etant continues sur des segments (

[

^{a b;}

]

^et

[

^{c d;}

]

), elles y sont uniformément continues.

Soit ε un réel strictement positif.

Pour tout x réel dans l’intervalle

[

^{a b;}

]

^{, on a :}

( )( ) ( )( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )

n n n n

n n n n

n n n n

g f x g f x g f x g f x

g f x g f x g f x g f x

g f x g f x g f x g f x

− = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎣ − ⎦ ⎣+ − ⎦

≤ − + −

D D

PanaMaths

[2 - 2]

Décembre 2011

Æ Le terme : gn

(

fn

( )

x

)

−g f

(

n

( )

x

)

Puisque la suite

( )

gn converge uniformément vers la fonction g, il existe un entier naturel n₁ tel que pour tout y dans l’intervalle

[

^{c d;}

]

et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à n₁, on a :

( ) ( )

n 2

g y ₋g y _≤ε

. Avec y= fn

( )

x , on obtient :

( ( ) ) ( ( ) )

n n n 2

g f x ₋g f x _≤ε . Æ Le terme : g f

(

n

( )

x

)

−g f x

( ( ) )

Comme la fonction g est uniformément continue : pour 0 2 ε _>

, il existe un réel α>0 tel que pour tout x et y de l’intervalle

[

^{c d;}

]

^{, on a :}

( ) ( )

x− ≤ ⇒y α g x −g y ≤ε2.

Mais puisque la suite

( )

fn converge uniformément vers la fonction f, il existe un entier naturel n₂ tel que pour tout x dans l’intervalle

[

^{a b;}

]

et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à n₂, on a : fn

( )

x − f x

( )

≤α. On en déduit alors :

[

;

]

, 2

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

n n 2

x a b n n f x f x α g f x g f x ε

∀ ∈ ≥ ⇒ − ≤ ⇒ − ≤

En définitive, pour tout réel x de l’intervalle

[

^{a b;}

]

et pour tout entier naturel n supérieur à

(

1 2

)

sup ,

N = n n :

( )( ) ( )( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )

2 2

n n n n n n

g Df x − gDf x ≤ g f x −g f x + g f x −g f x ≤ + =ε ε ε On a ainsi établi :

[ ] ( )( ) ( )( )

0, N / x a b; ,n N g_n f_n x g f x

ε ε

∀ > ∃ ∈` ∀ ∈ ≥ ⇒ D − D ≤

La suite

(

gnDfn

)

converge bien uniformément vers la fonction gDf sur l’intervalle

[

^{a b;}

]

^.