fonctions numériques
Les fonctions dont il est question dans ce chapitre sont définies sur un inter- valleI deR, à valeurs dansRouC.
I Suites et séries de fonctions continues
Il s’agit d’un rappel :
Théorème (suites) Soit (fn)n≥0une suite de fonctions définies sur un inter- valleI deR, à valeurs réelles ou complexes. Si lesfnsont continues, et si la suite (fn) converge uniformément sur tout segment vers une fonction
f, alors f est continue.
Théorème (séries) Soit (fn)n≥0une suite de fonctions définies sur un inter- valleIdeR, à valeurs réelles ou complexes. Si lesfnsont continues surI, et si la sérieP
fnconverge uniformément sur tout segment, alors
+∞X
n=0
fn est continue.
Remarque On dit parfois que la continuité se transmet par convergence uniforme sur tout segment. Si on avait envie de croire que la dérivabilité, ou la classeC1, se transmettait de même, un théorème célèbre nous en
II Convergence uniforme et intégration sur un seg- ment
Proposition (suites) Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions continues par mor- ceaux sur un segment [a,b], à valeurs dansRouC. On suppose que la suite (fn) converge uniformément versf, et quef est continue par mor- ceaux. Alors la suite³Z
[a,b]
fn´
n∈Nconverge vers Z
[a,b]
f. Autrement dit,
h
fn−−−−−→C.U.
n→+∞ f sur [a,b]i
=⇒
hZ b a
fn(t)dt−−−−−→
n→+∞
Z b a
f(t)dti Remarque Les fn sont à peu près toujours continues. Inutile alors de sup-
poser quef est continue par morceaux, elle est automatiquement conti- nue. En revanche,
Exercice :Construire une suite de fonctions continues par morceaux sur [0, 1] convergeant uniformément vers une fonction qui, elle, n’est pas continue par morceaux.
Remarque Evidemment, si on remplace dans la proposition la convergence uniforme par la convergence simple, ça ne marche plus. Il est bon de savoir donner un exemple :
Proposition (séries) SoitX
fn une série de fonctions continues par mor- ceaux sur [a,b], à valeurs dans R ou C. On suppose que la série X
fn converge uniformément sur [a,b], et que sa somme
+∞X
n=0
fn est continue par morceaux. AlorsX
n
µZ b a
fn
¶
converge, et
+∞X
n=0
µZ b
a
fn(t)d t
¶
= Z b
a
µ+∞
X
n=0
fn(t)
¶ d t
Remarque Les fn sont à peu près toujours, dans la pratique, continues, et alors
+∞X
n=0
fkl’est.
Remarque Comme pour la transmission de la continuité, comme pour la double limite, ces résultats peuvent permettre de démontrer qu’une conver- gence n’est pas uniforme : si (fn) converge simplement sur [a,b] vers f, si
µZ b a
fn
¶
ne converge pas versRb
a f, alors la convergence n’est pas uni- forme.
III Convergence uniforme sur tout segment et pri- mitivation
Il faut bien comprendre que, si les fnsont de classeC1, si la suite (fn) converge uniformément vers f, f n’a aucune raison d’être de classeC1, et quand bien même elle le serait, (fn0) n’a aucune raison de converger vers f0. La dérivation déstabilise, l’intégration (et donc la primitivation) régularise au contraire.
Proposition (suites)
Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions continues sur un intervalleI, à valeurs dansRouC. Soita∈Ifixé.
On suppose que la suite (fn) converge uniformément sur tout segment inclus dansI vers une fonctionf (qui est donc continue).
On définit pourx∈I: F(x)=
Z x a
f(t)d t , Fn(x)= Z x
a
fn(t)d t
Alors la suite (Fn) converge uniformément sur tout segment inclus dans IversF.
Autrement dit, il y a transmission de la convergence uniforme sur tout segment par primitivation (à condition bien sûr de prendre des primitives s’annulant toutes en un même point donné fixé).
Proposition (séries) SoitX
fn une série de fonctions continues sur un in- tervalleI. On suppose que la sérieX
fnconverge uniformément sur tout segment inclus dans I. Soit a ∈ I; alors X
µ x7→
Z x a
fn(t)d t
¶
converge uniformément sur tout segment inclus dansIversx7→
Z x
a
µ+∞
X
n=0
fn(t)
¶ d t.
IV Suites et séries de fonctions de classe C
1IV.1 Suite de fonctions de classe C
1Proposition Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions définies sur un intervalleI, à valeurs dansRouC. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeC1surI 2. La suite (fn)n∈Nconverge simplement surI
3. La suite (fn0)n∈Nconverge uniformément sur tout segment (inclus dans I)
On note f la limite (simple) de la suite (fn).
Alors
1. f est de classeC1surI.
2. Pour toutx∈I, f0(x)= lim
n→+∞
¡fn0(x)¢ .
3. La convergence de la suite (fn) versf est uniforme sur tout segment.
Remarque 1 Définirf comme limite simple de la suite (fn) est bien naturel.
En revanche, on évitera de « poser » f0 égale à la limite de la suite (fn).
Quand f est définie, f0existe ou n’existe pas, vaut ce qu’elle vaut, mais on n’a pas le droit d’y toucher.
Remarque 2 La conclusion 3 est nettement moins utilisée que les autres.
Démonstration Notonshn=fn0, et notonshla limite (qui est uniforme sur tout segment) de la suite de fonctions (hn). D’après le résultat sur les primitives, la suite de fonctions
µ x7−→
Z x a
hn(t)dt
¶
n≥0
converge unifor- mément sur tout segment vers la fonctionx7−→
Z x
a
h(t)dt.
Pour « remonter » de la dérivée à la fonction on a la très utile formule Z x
que l’on peut réécrire fonctionnellement fn=fn(a)+
µ x7−→
Z x a
hn(t)dt
¶
et intéressons-nous
. . .d’abord au premier membre de cette égalité : la suite (fn) converge simplement vers f.
. . .au second membre maintenant : la suite de fonctions constantes
³
fn(a)´
n≥0
converge vers la fonction constante f(a). Converge comment ? simple- ment, uniformément, uniformément sur tout segment, pour une suite de fonctions constantes c’est la même chose. Et donc, en utilisantIII., le second membre converge uniformément sur tout segment vers
x7−→f(a)+ Z x
a
h(t)dt.
Mais le second et le premier membre sont égaux, les limites sont donc bien sûr les mêmes. Donc on a, pour toutx,
f(x)=f(a)+ Z x
a
h(t)dt
ce qui montre bien que f estC1, et que sa dérivée esth, limite de (hn). Et comme la convergence de la suite au second membre est uniforme sur tout segment, celle de la suite au premier membre l’est aussi.
Exercice (Oral Mines)Soit f une fonction de classeC1sur un segment [a,b], à valeurs dansK(K=RouK=C). Montrer qu’il existe une suite (φn) de fonctions polynomiales à coefficients dansKtelles que les suites (φn) et (φ0n) convergent uniformément sur [a,b] vers f et f0respectivement.
Très bon énoncé de compréhension du théorème précédent.
IV.2 Série de fonctions de classe C
1Proposition SoitX
fnune série de fonctions définies sur un intervalleI, à valeurs dansRouC. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeC1surI 2. P
fnconverge simplement surI 3. P
fn0 converge uniformément sur tout segment inclus dansI Alors
1.
+∞X
n=0
fnest de classeC1surI. 2. On a :
µ+∞
X
n=0
fn
¶0
=
+∞X
n=0
fn0. 3. Et la convergence deP
fnest uniforme sur tout segment.
Exemples classiques, voire très classiques (presque du cours) :Montrer que les sommes des séries X
n≥1
1 nx et X
n≥1
(−1)n
nx (la fonctionζet la fonction «ζalter- née ») sont de classeC1sur leur domaine de définition.
V Suites et séries de fonctions de classe C
kV.1 Suite de fonctions de classe C
k(k ≥ 1)
Proposition Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions définies sur un intervalleI, à valeurs dansRouC. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeCksurI
2. Chaque suite (fn(j))n∈N(0≤j≤k−1) converge simplement surI 3. La suite (fn(k))n∈N converge uniformément sur tout segment inclus
dansI
Alors f, limite de la suite (fn), est de classeCk surI. Et, pour tout j∈ 0,k, f(j)= lim
n→+∞
³ fn(j)´
.
V.2 Suite de fonctions de classe C
∞Proposition Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions définies sur un intervalleI. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeC∞surI 2. La suite (fn)n∈Nconverge simplement surI
3. Chaque suite (fn(j))n∈N(j ≥1) converge uniformément sur tout seg- ment inclus dansI
Alors f, limite de la suite (fn), est de classeC∞surI. Sa dérivée j-ième est, pour tout j, la limite de la suite (fn(j)).
On peut affaiblir l’hypothèse 3. et supposer que les suites(fn(j))n∈Nconvergent uniformément sur tout segment seulement si j ≥ j0, j0 entier naturel quel- conque.
V.3 Série de fonctions de classe C
k(k ≥ 1)
Proposition SoitP
fnune série de fonctions définies sur un intervalleI. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeCksurI 2. Chaque sérieX
n
fn(j)(0≤j≤k−1) converge simplement surI 3. La sérieX
n
fn(k)converge uniformément sur tout segment inclus dans I
Alors
+∞X
n=0
fnest de classeCksurI. Et, pour toutj entre 1 etk, µ+∞
X
n=0
fn
¶(j)
=
+∞X
n=0
fn(j)
V.4 Série de fonctions de classe C
∞Proposition SoitP
fnune série de fonctions définies sur un intervalleI. On suppose :
1. Les fonctionsfnsont de classeC∞surI 2. La sérieX
fnconverge simplement surI 3. Chaque sérieX
n
fn(j)(j≥1) converge uniformément sur tout segment inclus dansI
Alors
+∞X
n=0
fnest de classeC∞surI. Et, pour toutj∈N∗,
µ+∞
X
n=0
fn
¶(j)
=
+∞X
n=0
fn(j)
Exemple classique :Montrer que les sommes des séries X
n≥1
1 nx et X
n≥1
(−1)n nx (la fonctionζet la fonction «ζalternée ») sont de classeC∞sur leur domaine de
Table des matières
I Suites et séries de fonctions continues 1
II Convergence uniforme et intégration sur un segment 2 III Convergence uniforme sur tout segment et primitivation 4 IV Suites et séries de fonctions de classeC1 5
IV.1 Suite de fonctions de classeC1 . . . 5
IV.2 Série de fonctions de classeC1 . . . 7
V Suites et séries de fonctions de classeCk 8 V.1 Suite de fonctions de classeCk(k≥1) . . . 8
V.2 Suite de fonctions de classeC∞ . . . 8
V.3 Série de fonctions de classeCk(k≥1) . . . 9
V.4 Série de fonctions de classeC∞ . . . 9
