1 Fonctions continues par morceaux

PC/MP Analyse S4 2020

TD2 - Fonctions continues par morceaux et leurs intégrales 12 février 2021

1 Fonctions continues par morceaux

Exercice 1. Montrer que la fonction partie entière E : x 7→ E(x) est continue par morceaux sur R.

Exercice 2. (MP) Soit f définie sur[0,1] par

f(x) =







0 si x= 0 x²E

1 x

si x >0 1. Montrer quef est continue par morceaux sur ]0,1].

2. Montrer quef n’est pas continue par morceaux sur [0,1].

3. Montrer quef est continue en 0.

Exercice 3. Montrer que toute fonction continue par morceaux sur un segment [a, b]est bornée.

Exercice 4. (Issu du DS PC 2019, dur) Soit G = R^N avec N ≥ 1, muni d’une normek · k, et soit g∈CM([0,1], G). Pour n∈N^∗, on pose

Sn(g) = 1 n

n

X

k=1

g(k n).

1. Montrer queS_n est une application linéaire.

2. Montrer quekS_n(g)k≤ kgk∞, aveckgk∞= sup_[0,1]kg(x)k.

3. Si A ⊂ R, on rappelle que la fonction indicatrice de A, notée 1A, désigne la fonction telle que 1_A(x) vaut 1 si x ∈ A et 0 sinon. Soit γ ∈[0,1]. Montrer queS_n(1_{γ})→0,n→ ∞.

4. Soient 0 ≤ α < β ≤ 1. On pose An = [nα] + 1,Bn = [nβ]. Calculer S_n(1_]α,β]), puis limn→∞S_n(1_]α,β]).

5. Soitg ∈ E([0,1];E) une fonction en escaliers. Ecrireg comme somme d’indicatrices. En déduire que pour toutg∈ E([0,1];E) on a

n→∞lim S_n(g) = Z

[0,1]

g(t)dt.

2 Calcul des intégrales

Exercice 5. Déterminer les limites des suites définies par les termes géné- raux suivants :

1. un=

n

X

k=1

k² n³. 2. vn=Pn

k=1 √ 1 n²+kn. 3. wn=Pn

k=1

(2k−1)^p

n^p+1 avec p∈N^∗ fixé.

Exercice 6. Soitf : [0,2]→R² définie par :

f(x) =



















3x² x

si x∈[0,1[

100 1

si x= 1 sin(x)

1 x

si x∈]1,2]

Déterminer explicitementF(x) =R_x

0 f(t)dt.

Exercice 7. SoitG:R→Rdéfinie par : G(x) =







x si x∈]− ∞,−1[

0 si x=−1

x² si x∈]−1,+∞[

1. Montrer que G est de classe C¹ par morceaux et calculer G⁰ sur l’en- semble de dérivabilité de G.

2. Déterminer la primitive de G⁰ qui s’annule en0.

Exercice 8. Calculer les quantités suivantes.

1. limn→∞Pn k=1

n+k n²+k²

2. Le produit

n→∞lim 1

n(Πⁿ_k=1(k+n))ⁿ¹ .

Exercice 9. Soit ϕ : R → R définie par ϕ(x) = |x³|+ 2 cosx + 1 et F :R→R² définie par :

F(y) =

arctanp y²+ 2 ln(3 +y²)

1. Montrer queF ◦ϕ est dérivable et calculer sa dérivée.

2. Soitf :R→R² définie par : f(y) = y

y²+ 3×

√1 y²+2

2

!

PourM >0, calculer

I_M :=

Z M 0

f(y)dy.

Est-ce-queI_M admet une limite lorsqueM tend vers +∞?

Exercice 10. Calculer les primitives suivantes (on précisera les intervalles de définition) :

1. R e^3ixdx 2. R _dx

x²+5

3. R _dx

√x²−5

4. R

e^xsin(e^x)dx 5. R _dx

tan³(x)

6. R ln(x) x dx 7. R ₁

x³−1dx 8. R ₁

x³(x²+1)dx Exercice 11. Soit I_n=

Z 1 0

(1−t²)ⁿdt.

1. Etablir une relation de récurrence entreIn etIn+1. 2. CalculerI_n.

3. En déduire

n

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1C_n^k. Exercice 12.

Soientuetv deux fonctions numériques dérivables surRetf :R→R^N, N ∈N^∗, une fonction continue.

On pose G(x) = Z v(x)

u(x)

f(t)dt. Montrer que Gest dérivable sur Ret cal- culer sa dérivée.

Exercice 13. Soit N ∈ N^∗ et f : [0,1] → R^N, N ∈ N^∗, une fonction continue. Montrer que

n→∞lim Z 1

0

tⁿf(t)dt= 0.

Exercice 14. Soit N ∈ N^∗ et f : [0,+∞[→ R^N, N ∈ N^∗, une fonction continue. Déterminer

lim

x→0⁺

1 x

Z x 0

f(t)dt.

3 Propriétés des intégrales

Exercice 15. Soit T > 0. On rappelle qu’une fonction f : R → R est T-périodique si

∀x∈R, f(x+T) =f(x).

1. Donner un exemple de fonction à valeurs réelles,T-périodique, et non constante.

2. On suppose quef est à valeurs réelles. Montrer que

∀(a, b)∈R², Z b

a

f(t)dt= Z b+T

a+T

f(t)dt et

Z a+T a

f(t)dt= Z b+T

b

f(t)dt

3. Montrer le même résultat lorsque f est à valeurs dans un espace vec- toriel de dimension finieF.

Exercice 16. (MP)(Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Soient a, b∈R avec a < betf, g : [a, b]→ R^N, N ∈N^∗, deux fonctions continues. On note < ., . >le produit scalaire usuel surR^N et k.k la norme associée. En considérant l’intégrale

I(λ) = Z b

a

kλf(x) +g(x)k²dx, λ∈R,

montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

| Z b

a

< f(x), g(x)>dx| ≤Z b a

kf(x)k²dx¹₂ Z b a

kg(x)k²dx¹₂ .

Exercice 17. (MP : Lemme de Gronwall)

Soientα ≥0,0< a < b etf, g: [0,+∞[→Rdeux fonctions numériques continues telles que pour toutx∈[a, b],g(x)≥0 et

f(x)≤α+ Z x

a

f(t)g(t)dt.

Le but de cet exercice est de montrer qu’alors pour toutx∈[a, b], f(x)≤αexpZ x

a

g(t)dt . 1. Soit u : [a, b] → R définie par u(x) = α+Rx

a f(t)g(t)dt. Justifier la dérivabilité deu puis montrer que pour toutx∈]a, b[,u⁰(x)≤u(x)g(x).

2. Soit v : [a, b]→ R définie par v(x) =u(x) exp

−Rx

a g(t)dt

. Montrer quev est décroissante et que pour toutx∈]a, b[,v(x)≤α.

3. Conclure.

Exercice 18. Soienta, b∈Raveca < betf : [a, b]→Rcontinue. Montrer que

Z b a

f(x)dx

= Z b

a

|f(x)|dx

si et seulement sif ≥0 ou f ≤0. On pourra décomposer f selon sa partie positive et sa partie négative.

Exercice 19. Soient a, b∈Ravec a < betf, g: [a, b]→R, deux fonctions continues, avecg≥0. Montrer qu’il existeξ ∈[a, b]tel que

Z b a

f(x)g(x)dx=f(ξ) Z b

a

g(x)dx.

On pourra étudier le signe de la différence pour certaines valeurs de ξ bien choisies.

Exercice 20. (MP) Soienta, b∈Ravec a < b etf : [a, b]→R^N,N ∈N^∗, une fonction continue. Montrer que si

kf(x)k ≤ Z x

a

kf(t)kdt, ∀x∈[a, b],

alors f est la fonction nulle. (Indication : On pourra utiliser le lemme de Gronwall)

Exercice 21. (MP)

Soit une matrice A ∈ M_n(R) telle que pour tout x ∈ Rⁿ, hAx, xi ≥ λkxk²,λ >0,oùh., .i désigne le produit scalaire surRⁿ.

On considèrex(t) = (x₁(t),· · ·x_n(t))une solution de l’équation différen- tielle dans Rⁿ

x⁰(t) =−Ax(t) +b(t), t≥0

oùb:R→Rⁿ est continue et bornée par une constante B ≥0.

1. Montrer l’inégalité 1

2 d

dt(kx(t)k²) +λkx(t)k²≤ kb(t)k kx(t)k t≥0.

2. Montrer que pour touta, b∈Retλ >0,2ab≤ b²

λ +λa². 3. En déduire l’inégalité

d

dt(kx(t)k²) +λkx(t)k² ≤ kb(t)k²

λ t≥0.

4. Déduire de ce qui précède l’estimation suivante kx(t)k² ≤ kx(0)k²e^−λt+ 1

λ Z t

0

e^−λ(t−s)kb(s)k²ds t≥0.

5. Conclure à la validité de l’inégalité kx(t)k²≤ kx(0)k²+B²

λ² t≥0.

6. On suppose, de plus, que la limiteb∞ de b(t) lorsque t→ +∞ existe dansRⁿ.On désigne parx∞l’unique vecteur deRⁿtel queAx∞=b∞

et on poseu(t) =x(t)−x∞ pourt∈R.

(a) Déterminer une équation différentielle satisfaite par uet prouver l’inégalité

ku(t)k² ≤ ku(0)k²e^−λt+ 1 λ

Z t 0

e^−λ(t−s)kb(s)−b∞k²ds t≥0.

(b) En déduire que lim

t→+∞x(t) =x∞.

Exercice 22. (MP) Soient B une application bilinéaire de R^N ×R^p dans R^q,f :R→R^N une fonction continue etg :R→ R^p une fonction de classe C¹.

Montrer que l’application ϕ:R→R^q définie par ϕ(x) =

Z x 0

B(f(t), g(x))dt est de classeC¹. Donner la valeur de ϕ⁰(0).

Exercice 23. Soitf :R→Rune fonction continue surRetF(x) = Z x

0

f(t)dt.

Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes, en justifiant votre choix :

1. F est continue sur R.

2. F est dérivable sur Rde dérivée f.

3. Si f est croissante surRalorsF est croissante surR. 4. Si f est positive sur RalorsF est positive sur R. 5. Si f est positive sur RalorsF est croissante surR.

6. Si f est T-périodique sur RalorsF est T-périodique sur R 7. Si f est paire alorsF est impaire.

Exercice 24. Soit f une fontion numérique continue sur [0,1] telle que Z 1

0

f(t)dt= 1

2. Montrer qu’il existe a∈]0,1[ tel que f(a) =a (indication : on pourra considérer une primitive dex7→f(x)−x).

4 Vos formules préférées

Exercice 25. (MP) Soitf :R→R^N,N ∈N^∗, de classeC² surRtelle que f etf⁰⁰ soient bornées. On pose

M₀=kfk_∞= sup

x∈R

kf(x)k, M₁ =kf⁰k_∞= sup

x∈R

kf⁰(x)k, M₂ =kf⁰⁰k_∞= sup

x∈R

kf⁰⁰(x)k.

On suppose que M₂>0.

1. Soitx∈R. Etablir que pour tout a >0, kf⁰(x)k ≤ 2M₀

a + aM₂ 2 .

2. En déduire queM₁ ≤2√

M₀M₂.

3. Cette inégalité reste-t-elle vraie siM₂ = 0?

Exercice 26. Soit f :R → R^N, N ∈N^∗, de classe C² sur R. Soit a∈R. Déterminer

h→0lim

f(a+h)−2f(a) +f(a−h)

h² .

Exercice 27. (MP) Déterminer le développement limité à l’ordre3en 0et en1 des fonctions suivantes (quand il existe) :

1. f :R→R³ :x7→(x, x²−2x, x⁴).

2. f :R→R² :x7→(exp(sin(πx)),ln(|cos(πx)|)).

3. f :R→R³ :x7→(ln(1 +x),√

x,arctanx)

Exercice 28. (MP) Soit f :]−1,+∞[→R² définie par f(x) =

(

e^x2−cosx

x ,ln(1 +x)−sinx

si x6= 0

(0,0) si x= 0

Montrer quef est continue et dérivable sur ]−1,+∞[. Déterminer f⁰(0).

5 Approximation des intégrales

Dans les deux exercices qui viennent, E désigne un R-espace vectoriel de dimension finie muni d’une norme k · k, et a < b deux nombres réels.

Etant donnée une fonctionf continue sur un intervalle compact, on va cher- cher à estimer à quelle vitesse les sommes de Riemann def convergent vers l’intégrale def, selon la manière dont on prend la subdivision.

Exercice 29. (Méthode des rectangles) Soitf : [a, b]→E lipschitzienne de rapportK > 0. Pour n∈N fixé, et0 ≤j ≤n, on pose x_j =a+j^b−a_n . On cherche à approcherRb

af(t)dt par Sn:= b−a

n

n

X

j=1

f(xj).

1. Justifier que Rb

af(t)dt est bien définie. Etant donné le graphe de f, représenter les quantités Rb

af(t)dtetS_n . 2. CalculerRxj

xj−1f(x_j)dt.

3. En découpantRb

af(t)dtselon la subdivision(x_j)_j=0,...,n, montrer que

Z b a

f(t)dt−Sn

≤K(b−a)² 2n .

4. Pourζj ∈[xj−1, xj], calculerRxj

xj−1|t−ζ_j|dt. Montrer que le résultat de la question 3 reste vrai si on prend S_n = ^b−a_n Pn

j=1f(ζ_j), où le point ζj ∈[xj−1, xj]est quelconque.

5. On suppose quef ∈C¹([a, b], E). Montrer que

Z b a

f(t)dt−Sn

≤ kf⁰k∞

(b−a)² 2n .

Exercice 30. (Méthode des trapèzes) On suppose quef ∈C²([a, b], E), et on pose maintenant

T_n= b−a n

n

X

j=1

f(xj−1) +f(xj)

2 .

1. Etant donné le graphe de f, représenter les quantités Rb

af(t)dt et T_n. On pourra auparavant calculer l’aire du quadrilatère de sommets (xj−1,0), (xj,0),(xj−1, f(xj−1))et (xj, f(xj)). Justifier le nom de la méthode.

2. Pourj≥1, notons δj =

Z xj

xj−1

f(t)dt−(xj −xj−1)f(xj−1) +f(x_j) 2

et

G(u) = Z u

xj−1

f(t)dt−(u−xj−1)f(xj−1) +f(u)

2 .

ExprimerRb

a f(t)dt−T_n en fonction des (δ_j)_j=1,...,n. CalculerG⁰,G⁰⁰. 3. Montrer que

δj = Z xj

xj−1

(xj−u)G⁰⁰(u)du= Z xj

xj−1

(xj−u)(xj−1−u)f⁰⁰(u) 2 du.

En déduire que

kδ_jk ≤ kf⁰⁰k_∞

12 (xj−xj−1)³. 4. Montrer que

kT_n− Z b

a

f(t)dtk ≤ kf⁰⁰k_∞(b−a)³ 12n² .