PC Maths Analyse III 2018-2019
TD2 - Approximation des int´ egrales
Dans les deux exercices qui viennent, E d´esigne un R-espace vectoriel de dimension finie muni d’une norme k · k, et a < b deux nombres r´eels. Etant donn´ee une fonction f continue sur un intervalle compact, on va chercher `a estimer `a quelle vitesse les sommes de Riemann de f convergent vers l’int´egrale de f, selon la mani`ere dont on prend la subdivision.
Exercice 1. (M´ethode des rectangles) Soit f : [a, b] → E lipschitzienne de rapport K >0. Pour n ∈N fix´e, et 0≤ j ≤ n, on pose xj =a+jb−an . On cherche `a approcher Rb
a f(t)dt par
Sn:= b−a n
n
X
j=1
f(xj).
1. Justifier que Rb
af(t)dt est bien d´efinie. Etant donn´e le graphe de f, repr´esenter les quantit´es Rb
a f(t)dt et Sn . 2. Calculer Rxj
xj−1f(xj)dt.
3. En d´ecoupant Rb
a f(t)dt selon la subdivision (xj)j=0,...,n, montrer que
Z b
a
f(t)dt−Sn
≤K(b−a)2 2n . 4. Pour ζj ∈[xj−1, xj], calculerRxj
xj−1|t−ζj|dt. Montrer que le r´esultat de la question 3 reste vrai si on prendSn= b−an Pn
j=1f(ζj), o`u le pointζj ∈[xj−1, xj] est quelconque.
5. On suppose que f ∈C1([a, b], E). Montrer que
Z b
a
f(t)dt−Sn
≤ kf0k∞(b−a)2 2n .
1
Exercice 2. (M´ethode des trap`ezes) On suppose que f ∈ C2([a, b], E), et on pose maintenant
Tn= b−a n
n
X
j=1
f(xj−1) +f(xj)
2 .
1. Etant donn´e le graphe def, repr´esenter les quantit´esRb
af(t)dtetTn. On pourra au- paravant calculer l’aire du quadrilat`ere de sommets (xj−1,0), (xj,0), (xj−1, f(xj−1)) et (xj, f(xj)). Justifier le nom de la m´ethode.
2. Pour j ≥1, notons δj =
Z xj
xj−1
f(t)dt−(xj −xj−1)f(xj−1) +f(xj) 2
et
G(u) = Z u
xj−1
f(t)dt−(u−xj−1)f(xj−1) +f(u)
2 .
ExprimerRb
a f(t)dt−Tn en fonction des (δj)j=1,...,n. Calculer G0, G00. 3. Montrer que
δj = Z xj
xj−1
(xj−u)G00(u)du= Z xj
xj−1
(xj −u)(xj−1−u)f00(u) 2 du.
En d´eduire que
kδjk ≤ kf00k∞
12 (xj−xj−1)3. 4. Montrer que
kTn− Z b
a
f(t)dtk ≤ kf00k∞
(b−a)3 12n2 .
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