PC Maths Analyse III 2018-2019

PC Maths Analyse III 2018-2019

TD5 - Convergence domin´ ee et int´ egrales ` a param` etres

Exercice 1.

Soit la suite d’intgrales d´efinies pour n ≥0 par I_n=

Z 1 0

ln(1 +tⁿ)dt 1. Justifier que cette suite est bien d´efinie.

2. Calculer la limite de I_n lorsque n→+∞.

3. En posant u=tⁿ, donner un ´equivalent de I_n.

Exercice 2.

Etudier la convergence de la suite d’int´egrale d´efinies pour n≥1 par In =

Z 1 0

dt (1−tⁿ)^1/n, et donner sa limite lorsquen →+∞.

Exercice 3.

Soit

I_n= Z

√n

0

1−t²

n n

dt 1. On introduit la fonction f_n: [0,+∞[→R telle que

f_n(t) =







1−t² n

n

si 0≤x≤√ n

0 sinon

Exprimerf_n `a l’aide d’une fonction caract´eristique, et faire le lien avec I_n. 2. Montrer que

∀t≥0, f_n(t)≤e^−t2

3. Calculer la limite de In lorsque n→+∞ sous forme d’une int´egrale.

1

Exercice 4.

Soit

I_n= Z +∞

0

sin(_n^t) t(1 +t²)dt

D´eterminer la limite de In ainsi qu’un ´equivalent simple lorsque n →+∞.

Exercice 5.

(

1 k²

)

1. Etant donn´e k ∈N^∗, montrer que Z π/2

0

(t−π)tcos(2kt)dt= π 4k². 2. Montrer que

n

X

k=1

cos(2kt) = sin(2n+ 1)t 2 sint −1

2. 3. Montrer que si f ∈C¹([a, b]), alors il existeC > 0 tel que

Z b a

f(t) sin(nt)dt

≤C/n.

4. En d´eduire que

∞

X

1

1 k² = π²

6 .

Exercice 6.

Soit f(x, t) = ^√e−xt

t+1. On souhaite d´efinir g par la formule g(x) =

Z +∞

0

f(x, t)dt.

1. Donner le domaine de d´efinition deg. 2. Montrer que g est continue sur R.

3. En posant t= ^u_x, cherchez un ´equivalent simple de g(x) lorsquex→0.

4. De mˆeme, cherchez un ´equivalent simple lorsque x→+∞.

Exercice 7.

Soit f(x, t) = ^ln(x+t_1+t2²⁾. On souhaite d´efinir g par la formule g(x) =

Z +∞

0

f(x, t)dt.

2/3

1. Donner le domaine de d´efinition deg. 2. Montrer que g est continue et C¹ sur R. 3. Montrer que

g⁰(x) = π 2√

x(√

x+ 1). 4. En posant u= ¹_t, calculer g(0). En d´eduire g.

Exercice 8.

(

sint

t dt

)

Z ∞ 0

e^−txsint t dt.

1. Montrer que F est bien d´efinie et F(x)→0 quand x→ ∞.

2. Montrer que F ∈C¹(]0,∞[) et calculerF⁰. 3. En d´eduire l’expression deF.

4. A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que F ∈C⁰([0,∞[).

5. En d´eduire que

Z ∞ 0

sint

t dt= π 2.

Exercice 9.

(

0 e^−t2dt

)

Z 1 0

e^−x2(1+t2) 1 +t² dt.

1. Montrer que F est bien d´efinie et F ∈C¹(R).

2. Montrer que F⁰(x) = −2e^−x2Rx

0 e^−t2dt.

3. En d´eduire que F(x) + Rx

0 e^−t2dt2

ne d´epend pas de x.

4. En d´eduire que

Z ∞ 0

e^−t2dt =

√π 2 .

3/3