MP 2020-21
Récolte 2018 de la PC/PC* – Centrale maths 1
SUJET N°1
Exercice : Centrale PC 2018 maths 1 (Sixtine de Witasse-Thézy)
1. Pourn∈N, on poseIn= Z 1
0
dx 1 +xn. Déterminer lim
n→+∞In=`puis un équivalent deIn−`.
2. SoitJ = Z 1
0
ln(1 +t) t dt.
Justifier l’existence deJ puis démontrer queJ =
+∞
X
n=1
(−1)n−1 n2 . 3. Question oubliée par la candidate !
SUJET N°2
Exercice : Centrale PC 2018 maths 1 (Marie Destuynder) Considérons :
∀n∈N, ∀x∈R, fn(x) =
n
X
k=0
1 k!xk.
1. Calculerfn pourn= 0,1,2, et déterminer le nombre de racines réelles de chaquefn.
2. Démontrer quef2n n’admet pas de racine réelle et quef2n+1 admet exactement une racine réelle, notéern. 3. Démontrer que : ∀n∈N,−(2n+ 3)< rn<0.
4. Étudier la monotonie et la convergence de la suite(rn)n.
SUJET N°3
Exercice : Centrale PC 2018 maths 1 (Laurène Deygas)
Idem Petites Mines PC 2013 Laurène Aubriot Pourn∈N∗ et p∈N, on définit In,p=
Z 1
0
xn(−lnx)pdx.
1.
(a) Montrer queIn,p existe.
(b) CalculerIn,p. 2. Montrer que
+∞
X
n=1
1 nn =
Z 1
0
dx xx.
SUJET N°4
Exercice : Centrale PC 2018 maths 1 (Pierre Du Cauzé de Nazelle)
On pose
f(α) = Z +∞
0
dx xα(1 +x). 1. Étudier l’ensemble de définition def.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/2 16 mai 2021
MP 2020-21
2. Donner un équivalent def en 0.
3. Montrer que le graphe def admet une symétrie d’axex= 1/2.
4. Montrer quef est continue sur son ensemble de définition.
5. Calculer la borne inférieure def.
SUJET N°5
Exercice : Centrale PC 2018 maths 1 (Thomas Fasham)
SoitEunC-espace vectoriel de dimension finiennon nulle. Soit(f, g)∈ L(E)2; on suppose qu’il existe(α, β)∈C2 tels que
f ◦g−g◦f =αf+βg.
Montrer quef et g admettent un vecteur propre commun.
SUJET N°6
Exercice : Centrale PC 2018 maths 1 (Alexandre Fossorier)
Fixons deux matrices A et B complexes d’ordre n. Supposons qu’il existe une matrice M complexe non nulle d’ordrentelle queAM=M B. L’objectif de l’exercice est de démontrer queAetB ont une valeur propre commune.
1. Traiter le cas oùM est inversible.
2.
(a) Démontrer queIm (M)est stable parAet que Ker (M)est stable parB.
(b) Notonsa,b etmles endomorphismes deCn canoniquement associés respectivement àA,B et M.
SoitH un supplémentaire deKer (m)dansCn. Considérons la restrictionbadeaàm(H)et la restrictionmb de mà H.
Que peut-on dire demb?
(c) Trouverbb tel queba◦mb =mb ◦bb.
(d) Prouver queχ
bb diviseχb et conclure.
SUJET N°7
Exercice : Centrale PC 2018 maths 1 Théo Grimonprez
Considérons l’équation différentielle
(x2−1)y00(x)−2nxy0(x) +n(n+ 1)y(x) = 0. (1) Soitf une solution de (1) surR. NotonsI=]− ∞,−1[∪]−1,1[∪]1,+∞[.
1. Démontrer quef|I est de classeC∞surI.
2. Démontrer qu’il existeP ∈Rn+1[X]tel quef|I(x) =P(x)pour toutx∈I.
3. Démontrer que la fonctionP :R→R,x7→P(x), est solution de (1) surR. Deux autres questions, oubliées par le candidat !
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/2 16 mai 2021
