MP 2020-21
Récolte 2018 de la PC/PC* – Centrale maths 2
SUJET N°1
Exercice : Centrale PC 2018 maths 2 Sixtine de Witasse-Thézy
Soit(Ω,T, P)un espace probabilisé. Considérons une suite(Xn)n>1de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi uniforme surΩà valeurs dans{−1,0,1}. Posons
An=
X1 · · · X1 ... . .. ... Xn · · · Xn
, Bn={ω∈Ω/ An(ω)diagonalisable} et αn =P(Bn).
1. Prouver queBn= [ tr (An)6= 0]∪
n
\
k=1
[Xk= 0].
2. En déduire la valeur (exacte) deαn.
3. Écrire une fonction pythonVraiAlpha(n) calculant la valeur exacte deαn.
4. Écrire une fonction pythonSimul(n)renvoyant une simulation de αn. Comparer avec la question précédente.
5. À l’aide de l’outil informatique, émettre une conjecture sur la suite(αn)n.
6. SoitP(X) = (X2+X+ 1)n. Prouver que le coefficientβn du terme de degréndeP(X)estβn= 3n(1−αn) + 1.
7. On poseP(X) =
n
X
k=0
βkXk. Prouver queβj = 1 2π
Z π
−π
P(eit)e−ijtdt.
8. Prouver la conjecture.
SUJET N°2
Exercice : Centrale PC 2018 maths 2 Marie Destuynder Considérons la familleBn=
Xk(X−1)n−k
06k6n de polynômes deRn[X].
1. Déterminer la matricePn de la familleBn dans la base canoniqueCn deRn[X].
Prouver quePn=
(−1)n−i n−ji−j
(i,j)∈[[0,n]]2. Démontrer queBn est une base deRn[X].
2. Écrire une procédureP(n)qui prend comme argument un entier naturelnet qui renvoie la matricePn. 3. Pour diverses valeurs den, calculerPn2à l’aide du programme précédent.
Conjecturer la valeur dePn2, pournentier naturel quelconque.
4. Démontrer la conjecture précédente.
5. Posons
An= diag (1, . . . , n+ 1) +
n−1
X
i=0
(n−i+ 1)Ei+1,iet Bn= diag (n+ 1, . . . ,1)−
n−1
X
i=0
(n−i+ 1)Ei+1,i,
où(Ei,j)(i,j)∈[[0,n]]2 est la base canonique deMn(R).
CalculerAn+Bn et en déduire queAn et Bn commutent.
6. CalculerPn−1AnPn et Pn−1BnPn et « en déduire quelque chose ».
7. Encore4ou5questions oubliées par la candidate !
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/3 16 mai 2021
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SUJET N°3
Exercice : Centrale PC 2018 maths 2 Pierre Du Cauzé de Nazelle Idem Centrale PC 2017 Maths 2, Jeremy Roudin
On définit le produit tensorielA⊗B de deux matrices carréesA= (ai,j)i,j∈ Mn(C)etB∈ Mp(C)par
A⊗B=
a1,1B . . . a1,nB ... . .. ... an,1B . . . an,nB
.
1. Écrire enPythonune fonctionmat(A,B)qui calcule puis renvoie le produit tensoriel deAparB. 2. CalculerC1=A⊗B1et C2=A⊗B2 avec
A= 1 5 5 1
!
, B1= 1 −3
3 1
!
et B2=
1 2 1 0 1 3 0 0 1
.
Les matricesC1=A⊗B1 et C2=A⊗B2sont-elles diagonalisables ? 3. Calculer tr (A⊗B).
4. SoitM et M0 dansMp(C)et N, N0 dansMq(C). Démontrer que (M⊗N)(M0⊗N0) = (M M0)⊗(N N0).
5. Démontrer queA⊗B est inversible si et seulement siA etB le sont. Déterminer dans ce cas l’inverse(A⊗B)−1 deA⊗B en fonction deA−1 etB−1.
6. Donner un exemple oùA⊗B est diagonalisable dansRmais oùAou/etB ne le sont pas.
7. Calculerdet(A⊗B).
SUJET N°4
Exercice : Centrale PC 2018 maths 2 Thomas Fasham
Soit f une fonction continue sur R∗+ à valeurs réelles et de limite nulle en +∞. Considérons la suite (un)n∈N∗\{1}
définie par :
∀n>2, un= 1
n+f(n+ 1) +f(n−1).
On pose, pour toutN >0, SN(f) = 1 +f(2) +
N
X
n=1
(−1)nu2n+1. Lorsque la suite(SN)n>2 converge, on conviendra d’écrire
S(f) = 1 +f(2) +
+∞
X
n=1
(−1)nu2n+1.
1. (a) Écrire enPythonune fonctionS(f,N)renvoyant la valeurSN(f).
(b) Représenter les termes de π
S10N(f)
N∈[[1,100]]
pour les trois fonctions suivantes définies surR∗+ :
f1:x7→e−x, f2:x7→ cos(x)
x , f3:x7→ ln(1 +x2) 1 +x2 .
Que peut-on conjecturer ?
(c) Démontrer la conjecture émise à la question précédente.
2. D’autres questions oubliées par le candidat.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/3 16 mai 2021
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SUJET N°5
Exercice : Centrale PC 2018 maths 2 Alexandre Fossorier
Soitpetqdeux fonctions de classe C1 surR, avecqà valeurs positives. Considérons l’équation différentielle
x00+p(t)x0−q(t)x= 0. (1)
1. Dans cette question uniquement, on considèrep(t) = t
1 +t2 etq(t) = 1 1 +t2.
(a) Avecpython, tracer une approximation des graphes de fonctionsf etg solutions de (1) avec pour conditions initiales
( f0(0) = 1 f(0) = 0 ,
( g0(0) = 0 g(0) = 1 .
(b) Démontrer qu’il existe une suite de réels(cn)n∈Ntelle que
∃r >0, ∀t∈]−r, r[, g(t) =
+∞
X
n=0
cnt2n.
Déterminer une relation de récurrence vérifiée par(cn)n. (c) Démontrer queg(t) =√
1 +t2 est une solution de (1).
(d) Démontrer que l’équation différentielle (1) (1 +t2)x00+tx0 −x = 0 admet deux solutions inverses l’une de l’autre.
2. Revenons au cas général (petqde classeC1sur R).
Démontrer que siuetv= 1
u sont deux solutions de (1), alors(u0)2= u2 1 +t2.
SUJET N°6
Exercice : Centrale PC 2018 maths 2 Théo Grimonprez
1. Démontrer que l’application(M, N)7→ tr (tM·N)définit un produit scalaire surMn(R).
Que peut-on dire de la base canonique pour ce produit scalaire ?
2. Soit(E,(· | ·))un espace vectoriel euclidien etf un endomorphisme deE.
Exprimer la trace def à l’aide du produit scalaire et d’une base orthonormée deE.
3. Dans cette question uniquement, on supposen= 4. Fixons une matriceA∈ M4(R).
DéfinissonsϕA(M) =AM+M ApourM ∈ M4(R).
(a) Écrire une une fonctionPythoncalculant la trace de l’endomorphismeϕA deM4(R).
Indication : on utilisera le produit scalaire précédemment défini à la question 1.
(b) Considérons les matrices
A1=
1 1 −1 0
1 1 −1 0
1 1 −1 0
−1 −1 1 0
, A3=(oubliée), A4=(oubliée).
Donner le rang deA1,A2,A3.
Démontrer que ces trois matrices sont des matrices de projection.
(c) Quelle relation peut-on donner reliant la trace deϕA et le rang deA? 4. Revenons au cas général :nquelconque.
Considérons l’endomorphismeϕA:M 7→AM+M AdeMn(R), oùAest une matrice de projection.
Démontrer que la relation entre la trace deϕA et le rang deAest toujours vraie.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 3/3 16 mai 2021
