Centrale Maths 2 PC 2002 — Corrigé

(1)

c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/20

Centrale Maths 2 PC 2002 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Alexis Devulder (ENS Ulm) ; il a été relu par Éric Ricard (Enseignant-chercheur à l’Université) et David Lecomte (Université de Stan- ford).

L’objectif de ce problème est de déterminer les plans stables d’un endomorphisme, en dimension 3 puis en dimension 4, où l’on définit un nouveau produit vectoriel.

Il traite essentiellement d’algèbre euclidienne et de réduction des endomorphismes et fait appel aux notions de produit vectoriel, de produit mixte, de comatrice, d’adjoint, d’endomorphisme orthogonal, etc. Il constitue donc une bonne révision de ces concepts. Ce problème n’est globalement pas très difficile ; certaines questions sont néanmoins délicates et l’énoncé est plutôt long.

• La première partie associe à toutu∈L R³

un endomorphismeue∈L R³ défini à l’aide du produit vectoriel. On y étudie les propriétés de l’endomor- phismeeuet de l’applicationu7−→u.e

• La deuxième partie est courte mais plus délicate que la précédente. On y établit une méthode générale pour déterminer les plans stables deuà partir de l’étude deu, puis on applique cette méthode à deux exemples.e

• La troisième partie est longue. On y introduit un produit vectoriel deR⁴×R⁴ versR⁶dont on étudie les propriétés. La plupart des questions sont assez faciles, hormis la question III.C qui demande plus de soin et d’intuition géométrique.

• La quatrième partie est la plus facile du problème et peut être résolue rapi- dement. Elle traite de réduction des endomorphismes, est assez calculatoire et consiste surtout en l’étude d’un exemple.

Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

(2)

Indications

Partie I

I.C Utiliser l’unicité de la question I.B.

I.D Pour montrer que (u)g^∗ = (u)e^∗, montrer qu’elles ont même matrice dans la baseB.

I.E.2 Pour rg (u) = 2, montrer que Ker (u)^⊥ ⊂ Keru, puis quee dim Kerue62.

Pour cela, montrer que(Kereu)∩(Keru) = 0.

Partie II

II.A Exprimer la matrice deudans une base orthogonalex,y^′,x∧y^′ avecy^′∈P ethx, y^′i= 0.

II.B Si z est un vecteur propre de uede norme 1, utiliser une base orthonormée dez^⊥.

II.C Utiliser les questions II.A et II.B pour établir une « correspondance » entre les plans stables deuet les valeurs propres deeu.

Partie III

III.C.1 DéterminerX, puis trouver unY0 particulier tel que X×Y0= C. Conclure à l’aide de III.A.

III.C.3 Pour la condition nécessaire, montrer que l’on peut appliquer le résultat de la question III.C.1 avecC = L (X).

III.C.4 Pour trouver Vect (X,Y)dans le cas oùA6= 0, ne pas oublier que la matrice a a^′

λ µ

a pour déterminant 1, donc est inversible.

Partie IV

IV.A Un endomorphisme est orthogonal si, et seulement si, il existe une base orthonormale dont l’image est une base orthonormale par cet endomorphisme.

IV.B Trouver une base orthonormale dans laquelleueest diagonale, en déduire que e

uest auto-adjoint.

IV.C Prouver la propriété demandée dans les cas particuliers des endomorphismes orthogonaux puis auto-adjoints, puis généraliser à l’aide de la décomposition fournie par l’énoncé.

(3)

I. Étude dans E euclidien orienté de dimension 3

I.A On calculeue1(e1), eu1(e2), etc. en utilisant les formules fournies par l’énoncé :

e u1(e1) =



0 0 1



∧



−1

−3



=



 3

−1 0





e u1(e2) =



−1

−3



∧



0 1 0



=



 3 0

−1



 e

u1(e3) =e2∧e3=e1

On obtient donc la matrice deue1: Ue1=



 3 3 1

−1 0 0 0 −1 0





On obtient la matrice de eu2 par un calcul similaire : Ue2=



 2 0 0 0 0 0

−2 0 0





Cette question n’est pas là uniquement pour tester les capacités calculatoires des candidats. Elle a pour rôle de leur donner deux exemples qui leur per- mettent de mieux comprendre les objets étudiés et de guider l’intuition de l’élève. N’hésitez pas à étudier ces exemples lorsque vous bloquez sur une des questions suivantes.

I.B Soit u∈ L(E). On commence par vérifier la formule demandée pour xet y appartenant à la baseB:

e

u(e1∧e2) =eu(e3) =u(e1)∧u(e2) e

u(e2∧e3) =eu(e1) =u(e2)∧u(e3) e

u(e3∧e1) =eu(e2) =u(e3)∧u(e1) On remarque par ailleurs que pour touti∈ {1,2,3}:

e

u(ei∧ei) =ue(0) = 0 =u(ei)∧u(ei)

De plus le résultat reste vrai pour les couples(e2, e1),(e3, e2),(e1, e3)par antisymétrie du produit vectoriel et linéarité deuet deu.e

On remarque ensuite que la formule reste valable pour tous vecteursxetydansE, le produit vectoriel étant bilinéaire et les applicationsuetuelinéaires. On a donc :

∀(x, y)∈E² eu(x∧y) =u(x)∧u(y)

Raisonner ainsi en termes de linéarité permet souvent de gagner du temps et d’éviter des calculs fastidieux.

(4)

D’autre part, siv est un endomorphisme deEvérifiant :

∀(x, y)∈E² v(x∧y) =u(x)∧u(y) alors ∀(x, y)∈E² v(x∧y) =eu(x∧y) Or e1=e2∧e3 e2=e3∧e1 et e3=e1∧e2

Par conséquent ∀i∈ {1,2,3} v(ei) =eu(ei) e

uet v coïncident donc sur une base deE; comme ce sont des applications linéaires, elles sont égales.

v=eu

I.C Il suffit de remarquer que :

Id(ee 1) =e1 Id(ee 2) =e2 et Id(ee 3) =e3

Par conséquent Ide =Id

Soient u et v dans L(E). On sait d’après la question précédente que u]◦v est l’unique endomorphismewdeEtel que

∀(x, y)∈E² w(x∧y) = (u◦v)(x)∧(u◦v)(y) Prenons alors un couple(x, y)d’éléments deE. On calcule :

e

u◦ev(x∧y) =u(v(x)e ∧v(y)) = (u◦v)(x)∧(u◦v)(y)

Par suite u]◦v=eu◦ev

Siuest inversible IdE=IdgE=u^◦u⁻¹=eu◦^(u⁻¹) On a donc euest inversible et(u)e⁻¹=ug⁻¹.

I.D NotonsU = (ui,j)i,j∈{1,2,3} et U = (e eui,j)i,j∈{1,2,3}.

Pour répondre à cette question, il suffit de calculerUe et com(U)et de constater qu’elles sont égales.

U = com (U)e

De façon un peu plus conceptuelle, on peut prolonger la notation ui,j

de la façon suivante : pour (i, j)∈ {1,2,3}² et pour k et l entiers, on pose ui+3k,j+3l=ui,j, par exemple :u4,5=u1,2. On peut alors écrire que

e

ui,j =heu(ei), eji

=hu(ei+1)∧u(ei+2), eji

= det (u(ei+1), u(ei+2), ej) e

ui,j =

ui+1,j+1 ui+2,j+1

ui+1,j+2 ui+2,j+2