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X Maths 2 PC 2002 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet traite essentiellement d’algèbre linéaire, même s’il utilise parfois quel- ques résultats d’analyse pour arriver à ses fins. On cherche à construire, à partir d’une matrice de départ A, des matrices semblables à A et ayant des diagonales
« sympathiques ».
• La première partie introduit deux lemmes très faciles et utiles par la suite.
La deuxième partie est beaucoup plus technique (pour ainsi dire, on a plus tendance à bidouiller qu’à réfléchir). La troisième partie est plus intéressante : on y établit qu’une matrice est semblable dans le groupe orthogonal à une matrice dont les éléments diagonaux sont égaux. L’intérêt majeur de cette partie est qu’elle manie à la fois des notions d’analyse et de l’algèbre linéaire pure.
• La quatrième partie établit un résultat similaire à celui de la seconde, mais plus puissant. Enfin, la dernière partie cherche à utiliser tous les résultats précédents pour montrer qu’une application de Mn(R) dans Mn(R) qui laisse stable le groupe linéaire est un automorphisme. Cependant, ce résultat est faux sinest pair. Par conséquent, si les trois premières questions de cette partie peuvent être résolues, en revanche le résultat de la toute dernière nécessite des hypothèses supplémentaires. On peut néanmoins chercher à la résoudre dans le cas où n est impair.
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Indications
Première partie
1.a Raisonner par contraposition en supposant que tout vecteur est vecteur propre.
Montrer que la valeur propre associée pour chacun est indépendante du choix du vecteur.
1.b Considérer l’endomorphisme f de Rn dont A est la matrice dans la base canonique ξ et chercher la matrice de f dans la base obtenue en permutant les vecteursei etej deξ.
Deuxième partie
2.a Utiliser la question 1.a pour trouver deux vecteurs X1 et X2 tels que (X1,X2) soit libre etAX1= X2.
2.b Utiliser la question précédente pour montrer queAest semblable à une matrice de la forme :
0 ∗ · · · ∗ 1
0 B
... 0
et appliquer l’hypothèse de récurrence àB.
3.a Commencer par chercher un vecteur non propre pourAselon la technique de la question 1.a.
3.b Remarquer que l’image du second vecteur de la base canonique est nulle et utiliser les vecteurs de la question précédente.
4 Commencer par montrer qu’il existeBsemblable à Atelle qu’un de ses éléments diagonaux soit égal à la trace de A. Pour cela, vérifier que l’on peut appliquer le résultat de la question 2.a à une matrice non scalaire et l’appliquer alors à un élément de la formeA−λI.
5 DécomposerAsous la formeA =λI + Bet appliquer la question précédente àB en choisissant convenablementλ.
Troisième partie
6 Poser A =
a b c d
et O =
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
Calculer ensuite tO AOet en déduire un choix convenable deθ.
7.a Utiliser la question 1.b pour trouver une matrice Borthosemblable à A et telle quef(B) =|b1,1−b2,2|.
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7.b DécomposerAsous la forme :
A =
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2 B
C D
Appliquer ensuite la question précédente à la matrice2×2 ainsi introduite.
7.c Remarquer que s’il n’existe qu’un couple(i, j)tel que f(A) =|ai,i−aj,j|alors en appliquant la question précédente, la matriceA′ obtenue vérifie :
f(A′)< f(A)
En déduire qu’en appliquant plusieurs fois cette transformation, on finit par avoir une matrice satisfaisante.
8.a Utiliser le fait que l’image d’un compact par une application continue est com- pact.
8.b Montrer que la fonctionf est continue.
8.c Introduire l’élément minimalA pour f sur EA et appliquer la question 7.c en supposantf(A)>0.
9 Essayer d’établir une récurrence d’ordre 2 sur les coefficients diagonaux des matrices(Am)m∈N.
Quatrième partie
10.b Pour montrer queR(A)est un intervalle, utiliser le fait que l’application suivante est continue :
Rn −→Rn X 7−→(A X|X)
10.c Utiliser le fait queR(A)est un intervalle (l’hypothèseAsymétrique est inutile).
11 À partir d’un vecteur tel que (A X|X) =t, construire une base orthonormée dont X est le premier vecteur. Exprimer dans cette nouvelle base l’endomor- phisme dontAest la matrice dans la base canonique, puis utiliser le résultat de la question 8.c sur une matrice extraite de taillen−1.
Cinquième partie 12.a ChercherY de forme triangulaire supérieure.
13.a Utiliser la propriété :
λ∈Sp(A)⇐⇒A−λI non inversible
13.b Ce que l’on nous demande de montrer est faux dans le cas général. On peut cependant le démontrer sinest impair. Raisonner alors par l’absurde en prenant Anon nulle dans le noyau deTet utiliser la question 12.b.
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Première partie
1.a C’est un résultat très classique d’algèbre linéaire. On raisonne par contraposi- tion en supposant que tout vecteur non nul deRn est vecteur propre pourA.
Soit(e1, . . . , en)la base canonique deRn. En vertu de notre hypothèse de départ, chaque élément de cette base est vecteur propre pour A. Il existe donc des réels (λi)i∈[[ 1 ;n]]tels que :
∀i∈[[ 1 ;n]] Aei=λi ei
Considérons maintenant le vecteur e1+e2 (non nul car e1 et e2 ne sont pas colinéaires). D’après notre première hypothèse, c’est également un vecteur propre pourA. Il existe donc un autre réelλ1,2tel que :
A (e1+e2) =λ1,2(e1+e2) Mais par linéarité, on a également :
A (e1+e2) = Ae1+ Ae2=λ1e1+λ2e2
soit λ1,2(e1+e2) =λ1e1+λ2e2
Les vecteurs e1 et e2 sont des éléments d’une base donc (e1, e2)est une famille libre. L’égalité précédente entraîne alors
λ1,2=λ1=λ2
De la même manière, on montre que pour tous indices i, j, on a λi = λj. Par conséquent, il existe un réelλtel que :
∀i∈[[ 1 ;n]] Aei=λ ei
Par suite, on a bienA =λI etAest scalaire.
Par contraposée, on en déduit donc que siAest une matrice non scalaire, alors il existe un vecteur non nul qui n’est pas un vecteur propre pourA.
1.b SoientA un élément deMn(R) eti etj deux éléments de {1, . . . , n} (on peut supposeri < j). Soientξ= (e1, . . . , en)la base canonique deRnetf l’endomorphisme dontAest la matrice dans la baseξ.
On considère la nouvelle base deRn donnée par la familleξ′= (e′1, . . . , e′n)telle que :
∀k6=i, j e′i=ej e′j =ei e′k=ek
On a dans cette nouvelle base :
f(e′i) =f(ej) = a1,je1+· · ·+ai,jei+· · ·+aj,jej+· · ·+an,jen
=a1,je′1+· · ·+ai,je′j+· · ·+aj,je′i+· · ·+an,je′n
(1)
De même, en ce qui concerne l’image dee′j, on a :
f(e′j) =f(ei) = a1,ie1+· · ·+ai,iei+· · ·+aj,iej+· · ·+an,ien
=a1,ie′1+· · ·+ai,ie′j+· · ·+aj,ie′i+· · ·+an,je′n
(2)
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