X Maths 2 PC 2000 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/23

X Maths 2 PC 2000 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par David Hernandez (ENS Ulm) ; il a été relu par Mathieu Dutour (ENS Ulm) et Cédric Peschard (ENS Ulm).

L’épreuve se compose de trois parties qui ne sont pas indépendantes. Elle fait appel à plusieurs domaines et outils de l’analyse : l’étude de suites de matrices, les équations différentielles, les formules de Taylor et en particulier le théorème de Rolle.

L’enjeu du sujet est la résolution approchée d’une équation différentielle par la ré- solution de systèmes linéaires, et en particulier l’étude de la convergence des solutions approchées.

Dans la première partie, on montre la continuité de l’inversion surGLn(R), puis on étudie les limites de matrices deMn(R)vérifiant une propriété concernant le signe des coefficients.

Dans la deuxième partie on étudie une équation différentielle (1) :

−u^′′=f avec

(u∈C⁴([0,1])

u(0) =u(1) = 0

oùf ∈C²([0,1]) est fixée. Après avoir montré l’existence et l’unicité de la solution u, on étudie la convergence vers u de la solution Un d’un système linéaire (2) en utilisant les résultats de la première partie. On donne explicitement un rang pour une approximation à10⁻⁴ près dans un cas particulier.

Dans la troisième partie, on étudie une famille d’équations différentielles (3) :

−u^′′+ 1

p²u=f avec

(u∈C⁴([0,1]) u(0) =u(1) = 0

Après avoir montré l’existence et l’unicité de la solution u^[p], on étudie en quel sensu^[p] converge versusolution de l’équation différentielle (1). On étudie ensuite la convergence des solutions d’un système linéaire (4) versu^[p].

Notons que l’étude de l’équation différentielle (1) fait aussi l’objet de la première épreuve de mathématiques de Centrale, filière PC (année 2000), corrigée dans ce même ouvrage, mais avec une approche différente (utilisant les séries de Fourier). Ces équations avec conditions aux limites de type Dirichlet sont issues de la mécanique quantique, et en particulier de l’équation de Schrödinger stationnaire.

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Indications

Première partie

1.a Utiliser les propriétés de la norme surRⁿ. 1.b Appliquer la définition deN(X)àX(YV).

2.a Montrer queGLn(R)est ouvert.

2.b Remarquer queX⁻¹(X−Xp)X⁻¹_p = X⁻¹_p −X⁻¹, puis utiliser l’inégalité triangulaire surRⁿ : |kAk − kBk|6kA−Bk.

2.c Combiner les deux inégalités obtenues à la question 2.b, et se rappeler que la dimension est finie.

3.a EcrireXV = 0pour lai0 ème coordonnée, puis séparerXi0,i0vi0 de la somme.

3.b S’inspirer de la question 3.a.

4 Appliquer le résultat de la question 3.b auxAp et passer à la limite.

Deuxième partie

5.a Utiliser une solution particulière de l’équation sans conditions au bord, et utiliser des solutions de l’équation homogène associée.

5.b Remarquer que sif >0,u^′ est croissante.

5.c Reproduire la démarche de la question 5.a dans le cas particulier.

6.a Choisirα∈Rtel que :

u^′′(xi)h²−[u(xi−h)−2u(xi) +u(xi+h)]−αh⁴ 12 = 0 puis appliquer successivement le théorème de Rolle à :

A(t) =u^′′(xi)t²−[u(xi−t)−2u(xi) +u(xi+t)]−αt⁴ 12 puis à ses dérivées.

6.b Calculer^∧u⁽⁴⁾.

7.b Faire apparaître desVi2−2ViVi+1+ Vi+12et utiliser une identité remarquable.

7.c Se rappeler qu’une somme nulle de réels positifs a tous ses termes nuls.

8.a Utiliser la question 3.

8.b Étudierx7→ x(1−x)

2 sur[0,1].

9.a Utiliser la question 6.a, puis le fait queU est une solution de (2). Utiliser les résultats établis sur les coefficients de B.

9.b Remarquer qu’une solution de (2) donne une fonction affine par morceaux, et étudier la convergence uniforme versu.

9.c Dériverf et majorer|f^′′|.

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Troisième partie

10.a S’inspirer de la question 5.a.

10.b Considérervp=u^[p]−u, calculerv^′′_p et majorervp. 11.a S’inspirer de la question 5.b.

11.b Dériveru^[p].

11.c Utiliser la question 11.b et remarquer que pourt >0on ach (t)<1 +1 2ch (t)t.

12.a Utiliser la question 3.

12.b S’inspirer de la deuxième partie en utilisant les résultats de cette troisième partie. Pour majorer|u^[p]|, remarquer que :

u^[p]

6

u∧^[p]

|f|

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Première partie

1.a SoitX∈ Mn(R). Elle représente une application linéaire continue deRⁿ dans Rⁿ, donc :

∃M>0,∀V∈Rⁿ kXVk6MkVk Ainsi,N(X) = Sup

V∈Rⁿ−{0}

kXVk

kVk est fini.

Rappelons qu’une norme nsur un R-espace vectoriel E est une application de E dans R⁺ vérifiant :

– la séparation :∀x∈E n(x) = 0⇐⇒x= 0

– l’inégalité triangulaire :∀x, y ∈E n(x+y)6n(x) +n(y) – l’homogénéïté :∀x∈E,∀λ∈R n(λx) =|λ|n(x)

Rappelons aussi que u∈ L(E,F), alors

ucontinue ⇐⇒ uuniformément continue

⇐⇒ ulipschitzienne

⇐⇒ uest bornée sur la sphère unitée Enfin, en dimension finie, toute application linéaire est continue.

Vérifions les trois axiomes qui définissent une norme.

– Comme pour toutX∈ Mn(R),λ∈Ret V∈Rⁿ on a kλXVk=|λ| kXVk, on obtient :

∀λ∈R,∀X∈ Mn(R) N(λX) =|λ|N(X)

– De même, pour toutX∈ Mn(R),Y∈ Mn(R)et V∈Rⁿ− {0}, on a : k(X + Y)Vk

kVk 6kXVk

kVk +kYVk kVk

d’où N(X + Y)6N(X) + N(Y)

– Enfin, siN(X) = 0, alorskXVk = 0 pour toutV ∈Rⁿ, soit XV = 0, et donc X = 0. SiX = 0, on a bien sûrN(X) = 0.

1.b SoientX,Y∈ Mn(R). PourV∈Rⁿ, on a :

kXYVk6N(X)kYVk6N(X)N(Y)kVk

donc N(XY)6N(X)N(Y)

Cette propriété n’est plus vérifiée pour la norme N∞. Pour A∈ Mn(R)et B∈ Mn(R)telles que A1,1= A2,2= A1,2= 1,B1,1= B2,2= B2,1 = 1et des zéros pour tous les autres coefficients, soit par exemple en dimension 2 :

A = 1 1

0 1

et B = 1 0

1 1

on a N∞(AB) = 2>1 = N∞(A)N∞(B)

2.a L’application déterminant det:Mn(R)→Rest continue, donc