X Maths PC 2013 — Corrigé

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X Maths PC 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Silvère Gangloff (ENS Ulm) ; il a été relu par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) et Nicolas Martin (ENS Lyon).

L’épreuve est composée de cinq parties. Elle présente l’algorithme de Jacobi, qui calcule les valeurs propres d’une matrice symétrique donnéeS. Son principe est de construire une suite de matrices semblables à S, qui converge vers une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de S, comptées avec multiplicité. Une majoration de la vitesse de convergence permet de calculer ces valeurs propres avec une précision arbitraire.

La première et la quatrième partie sont indépendantes des autres et peuvent être traitées séparément. Les deux premières parties n’utilisent que le programme de la classe de PCSI.

• La première partie, préliminaire, demande essentiellement des connaissances de première année sur les matrices orthogonales, les matrices symétriques, la trace et les études de fonctions.

• La deuxième partie concerne la base de l’algorithme. Il s’agit de montrer que l’on peut conjuguer une matrice symétrique S par une matrice de rotation de manière à annuler un coefficient non-diagonal de S. La norme euclidienne de la matrice étant conservée, l’objectif de l’algorithme est de réitérer l’opération pour concentrer la masse des coefficients sur la diagonale. On établit donc à cet effet un certain nombre d’inégalités en fin de partie. Celle-ci demande une bonne maîtrise du calcul matriciel, ainsi que des connaissances élémentaires concernant la trigonométrie et les polynômes du second degré.

• La troisième partie étudie la convergence de la suite de matrices données par la méthode précédente, lorsque l’on choisit arbitrairement le coefficient à annuler.

Cette partie utilise des résultats sur les séries à termes positifs et sur les suites.

• Dans la quatrième partie, on compare les valeurs propres des éléments d’une suite de matrices convergente aux valeurs propres de la matrice limite. On y utilise les outils de base de la réduction des endomorphismes.

• Enfin la cinquième partie présente l’algorithme de Jacobi optimisé, où l’on annule à chaque étape un coefficient non-diagonal de module maximal.

Cette épreuve d’analyse numérique demande peu de connaissances du cours, ce qui reflète assez bien l’esprit du concours de l’X, très éloigné des applications successives de théorèmes.

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Indications

4 Utiliser le résultat de la question 3 pour les matricesR = V etS = ^tA A.

6 Se servir de la question 3 pourS etR = Rp,q(θ).

8.b Utiliser le fait quet0t1=−1. Pour la relation, utiliser le fait que t0+t1=−(spp−sqq)/spq

et démontrer la formule suivante, valable pour tout couple d’angles(ϕ, ψ) tels queϕ, ψ6=π/2 (mod π)ettan(ϕ) tan(ψ)6= 1:

tan(ϕ+ψ) = tan(ϕ) + tan(ψ) 1−tan(ϕ) tan(ψ)

8.c Utiliser la formule donnée en réponse à la question 7, puis se servir judicieuse- ment de l’équation (1).

8.d Il est plus simple de calculer d’abord||D^′||en fonction de||D||et despq2. Utiliser le fait que||S^′||=||S||et démontrer les formules

||S||²=||D||² et ||S^′||²=||D||²+||E^′||² 9 L’angleθpeut s’exprimer en fonction de la racine choisie.

11 Décomposer le premier carré après avoir appliqué les formules de la question 8.c, puis utiliser l’équation (1).

12.a Démontrer que l’équation (1) peut se mettre sous la forme

t²

1 +sqq−spp

−tspq

= 1

12.b Distinguer deux cas :sqq−spp positif ou négatif. C’est alors une conséquence des questions 5 et 12.a.

13 Montrer queR^′−R>2(|s^′_qq−s^′_pp| − |sqq−spp|)en reprenant le résultat de la question 12.b puis distinguer les cassqq−spp positif ou négatif.

14 Pour la convergence de la série, montrer que la suite (Rm)m>0 est bornée.

Utiliser pour cela le fait que la suite (Σ^(m))m>0 est bornée, ce qui est une conséquence de la question 4.

15 Voir que la convergence de la série des εm entraîne la convergence de chaque suite(σ_ii^(m))m>0, ce qui entraîne la convergence de la suite(D^(m))m>0.

16 Raisonner par récurrence.

17 Montrer que les coefficients du polynôme caractéristique d’une matrice Nsont des fonctions continues des coefficients deN.

18 Utiliser le fait que les valeurs propres d’une matrice sont les racines de son polynôme caractéristique.

19 Montrer par récurrence, en appliquant l’inégalité démontrée à la question 10.a, que pour toutm>0,||E^(m)||6ρ^m||E⁽⁰⁾||.

20 Utiliser les résultats de la partie 4.

21 C’est une conséquence de la question 10.b.

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1. Préliminaires

1 Lorsquen= 3, on constate directement que

La matriceRp,q(θ)est la matrice dans la base canonique(e1, e2, e3)deR³ de la rotation autour de l’axe dirigé et orienté parep∧eq, et d’angleθ.

2 Notonserij les coefficients de la matrice ^t(Rp,q(θ)). Par définition de la transposi- tion,erij =rji, et par définition du produit matriciel, les coefficientsci,jde la matrice

t(Rp,q(θ)) Rp,q(θ)sont donnés par la formule ci,j=

Pn

k=1reikrkj = Pn k=1

rkirkj

Lek-ième terme de cette somme, pourk6=p, q, estδⁱ_kδ^j_k=δ^j_iδ_kⁱ. Il s’ensuit la formule suivante, valable pour tous indicesiet j

cij =δ^j_i(1−δ_i^p)(1−δ^q_i) +rpirpj+rqirqj

Par conséquent, sii6=p, q, cij =δ_i^j Sii=poui=qet quej6=p, qalors

cpj = 0 Enfin on a les égalités suivantes

cpp =rpp2+rpq2= cos(θ)²+ sin(θ)²= 1 cqq =rqq2+rpq2= cos(θ)²+ sin(θ)²= 1

cpq=cqp= (rpp+rqq)rpq= 0 desquelles on conclut que

t(Rp,q(θ)) Rp,q(θ) = In

Ainsi, On reconnaît que la matriceRp,q(θ)est orthogonale.

3 Pour toutes matricesRet S,

t t

R SR

= ^tR^tS

t_t R

= ^tR^tS R Et comme on sait que la matriceSest symétrique

t t

R SR

= ^tR SR

De plus, comme R est une matrice orthogonale, elle vérifie ^tR = R⁻¹ et ainsi la matrice ^tR SR = R⁻¹SR est bien semblable àS. On en déduit que

La matrice ^tR SRest symétrique et semblable àS.

4 Par définition de la norme||.||

||UAV||²=Tr(^t(UAV) UAV) =Tr(^tV ^tA^tU UAV) Comme la matriceUest orthogonale, alors

||UAV||²=Tr(^tV ^tA AV)

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D’après le résultat de la question 3 pourR = Vqui est bien orthogonale par définition etS = ^tA Aqui est bien symétrique car

t_t A A

= ^tA

t_t A

= ^tA A, la matrice

tV ^tA AV est semblable à ^tA A, et comme la trace est invariante par similitude, on obtient enfin :

||UAV||= q

Tr(^tA A) =||A||

5 Notons par commodité, la fonctionf :x7→ |x−a| − |x−b| − |x−c|+|x−d|.

Pour toutx6aon a

f(x) =a−x−(b−x)−(c−x) +d−x=a+d−b−c= 0 Ensuite, sia6x6b, alors

f(x) =x−a−(b−x)−(c−x) +d−x= 2(x−a)>0 Sib6x6c

f(x) =x−a−(x−b) + (x−c)−(x−d) =b−c−a+d= 2(b−a)>0 card−c=b−a. Enfin, sic6x6d

f(x) = 2(d−x)>0

etf(x) = 0pourx>d. Résumons ceci dans un tableau de variation de la fonctionf.

x −∞ a b c d +∞

2(b−a) −→ 2(b−a)

f(x) ր ց

0 −→ 0 0 −→ 0

Par conséquent, comme on peut le voir sur le tableau

La fonctionx7→ |x−a| − |x−b| − |x−c|+|x−d| est à valeurs positives.