Mines Maths 2 PC 2002 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/14

Mines Maths 2 PC 2002 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Éric Ricard (agrégé de mathématiques).

Ce problème est composé de trois parties, les deux premières étant indépendantes l’une de l’autre. La troisième partie, en revanche, utilise les résultats de la deuxième.

Dans l’ensemble, cette épreuve est assez accessible, en dépit de quelques questions un peu plus difficiles.

Le thème central est l’étude des équations différentielles linéaires d’ordre 2 sur [ 0 ; 1 ]du type :

−u^′′(x) +p(x)u(x) =f(x)

où les fonctionspetf sont données, avecppositive. Les solutions cherchées doivent satisfaire en outre les conditions au bordu(0) =u(1) = 0.

• La première partie commence par quelques cas particuliers, applications di- rectes de méthodes du cours, avant d’aborder l’étude générale d’existence et d’unicité de solutions pour ce problème différentiel. Une bonne maîtrise du théorème de Cauchy et de ses conséquences est nécessaire pour les dernières questions.

• La deuxième partie a pour but l’estimation de la norme d’une certaine appli- cation linéaire. On y introduit la norme « infinie » sur Rⁿ et une notion de positivité surMⁿ(R). En dehors de quelques résultats de cours (norme induite surMn(R), suite récurrente linéaire d’ordre 2), les questions sont assez détaillées et très liées les unes aux autres.

• La troisième partie fait le lien entre les deux premières. Le problème initial est discrétisé sur un réseau régulier de [ 0 ; 1 ]; on compare alors les solutions obtenues sur ce réseau. La majoration de l’erreur repose sur la formule de Taylor et les estimations de la seconde partie.

En conclusion, ce problème, d’une longueur très raisonnable, ne devrait pas poser trop de difficultés techniques et constitue un bon entraînement.

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Indications

Partie I

I.1.b Chercher une solution particulière de la formeP(x)e^αx(avecP un polynôme de degré adapté), en distinguant les casα= 1et α=−1des autres cas.

I.2.a Utiliser le fait queu^′′=pu.

I.3.a Montrer que si g(1) = 0, alorsgest solution du problème P0. I.3.c Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Partie II

II.1.d Prendre deux vecteurs X1 et X2 de même image par A. Montrer qu’alors X1−X2 etX2−X1 sont positifs, et donc queX1= X2.

II.2.a Utiliser l’indication de l’énoncé. En outre, prendre le plus petit indicek tel quex^k soit minimal (ou bien à l’inverse le plus grand indice).

II.3.a ExprimerA(W−V)en fonction deV uniquement.

II.4.d Pour majorer la suite, majorer le trinôme.

Partie III

III.1 Définir la fonction R par la première relation et montrer qu’elle vérifie la deuxième grâce à la formule de Taylor-Lagrange.

III.2.b Calculer les coordonnées deZet les majorer, grâce aux formules établies à la question III.1.

III.2.c Exprimer la différenceX−X^∼ en fonction deZ.

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I. Exemples, résultats généraux

I.1.a Lorsquep= 0etf = 1, l’équationEdevient−u^′′= 1. En intégrant deux fois de suite, il apparaît que les solutions deEsont les fonctions de la forme :

u:x7−→ −x²

2 +ax+b oùaet bsont deux constantes.

Pour vérifier les conditionsC(u(0) =u(1) = 0), il faut que ces constantes vérifient le système :

( b = 0

−1

2+a+b= 0

soit a=1

2 et b= 0 La solution du problème P est donc ici la fonction :

u:x7−→ −x(1−x) 2

I.1.b On prend cette foisp= 1et f :x7−→e^αx, avecαun réel fixé. Eest ici une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, son équation homogèneE0associée est alors−u^′′+u= 0.

La solution générale de E0 est donc de la forme Ae^x+ Be⁻^x, avecA et Bdeux constantes. Pour trouver toutes les solutions deE, il nous suffit par conséquent d’en trouver une solution particulière.

• Lorsque α est différent de 1 et de −1, cherchons cette solution particulière sous la forme u(x) = λe^αx. En dérivant deux fois ce terme, on obtient u^′′(x) =λα²e^αx, et donc

−u^′′(x) +u(x) =λ 1−α² e^αx

uest alors solution deEsi et seulement si la constante λvérifie la condition : λ −α²+ 1

= 1 La fonctionx7−→ 1

1−α²e^αxest ici une solution particulière deE. La solution générale deEest donc de la forme

x7−→Ae^x+ Be⁻^x+ 1 1−α²e^αx Les conditionsC nous donnent alors le système











A + B + 1

1−α² = 0 Ae+B

e + e^α 1−α² = 0 On obtient A = e^α+1−1

(e²−1) (α²−1) et B = e²−e^α+1 (e²−1) (α²−1) Donc, siα6= 1etα6=−1, la solution de P est la fonction

u:x7−→ 1 (α²−1)

e^α⁺¹−1 e²−1

e^x+

e^α⁺¹−e² 1−e²

e⁻^x−e^αx

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• Lorsqueα= 1ouα=−1, on peut chercher la solution particulière deE sous la formeu(x) =λxe^αx.

En fait, on cherche cette solution particulière sous la forme d’un poly- nôme de degré1fois e^αx, mais ici le terme constant peut être éliminé car il correspond à la solution générale de l’équation homogène.

De la même façon, on dérive deux fois cette fonction pour obtenir u^′′(x) =λ α²x+ 2α

e^αx donc −u^′′(x) +u(x) =λ 1−α²

x−2α e^αx

= 2λαe^αx (car ici α²= 1)

Pour que cette fonction soit solution deE, on obtient la condition surλ, 2αλ=−1 soit λ=− 1

2α La solution générale deE est donc de la forme

x7−→Ae^x+ Be⁻^x− 1 2αxe^αx

Ensuite, pour trouver la solution du problème P, les conditionsCnous donnent ici le système







A + B = 0 Ae+B

e −e^α 2α = 0

d’où A = e^α+1

(e²−1) (2α) et B = −e^α+1 (e²−1) (2α) La solution de P est donc

pourα= 1 u:x7−→ 1 2

e^x+2

e²−1 −e⁻^x+2 e²−1 −xe^x

pourα=−1 u:x7−→ 1 2

− e^x

e²−1+ e⁻^x

e²−1+xe⁻^x

Lorsque le second membre d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants est comme ici une « exponentielle polynôme », on recherche toujours une solution particulière sous cette forme. En effet, le membre de gauche est alors encore une « exponentielle polynôme », ce qui permet de simplifier l’équation en enlevant l’exponentielle et d’obtenir des équations sur les coefficients du polynôme.