c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/21
Centrale Maths 2 PSI 2002 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Éric Ricard (agrégé de mathématiques) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).
Ce sujet a pour thème général l’approximation des fonctionsC1 à l’aide de poly- nômes, soit par la méthode des splines cubiques, soit par celle de Lagrange-Sylvester.
• Dans la première partie, on s’intéresse à la résolution de systèmes linéaires tridiagonaux. Elle repose essentiellement sur des calculs du cours de Mathéma- tiques Supérieures qui doivent être maîtrisés. Seule la dernière question est un peu plus théorique.
• La seconde partie est beaucoup plus algébrique et introduit la méthode des splines cubiques. On montre qu’elle revient à résoudre l’un des systèmes de la première partie. Les raisonnements mis en jeu mêlent algèbre linéaire et analyse des fonctions réelles (recollement essentiellement). La dernière question com- pare cette technique d’approximation avec celle de Lagrange-Sylvester. Cette partie est conceptuellement la plus compliquée.
• La troisième partie, indépendante des deux autres, présente une structure eucli- dienne surRn[X], admettant les polynômes interpolateurs de Lagrange comme base orthonormée. On y fait quelques calculs de projections avant d’étudier un endomorphisme diagonal dans cette base. Cette partie est globalement assez simple car proche des cours sur les polynômes de Lagrange et l’algèbre eucli- dienne.
Ce sujet est assez long et propose des calculs peu agréables. Les parties I et III sont abordables par la majorité des candidats. La seconde est plus délicate, mais traite des splines cubiques, sujet très à la mode ces dernières années qui mérite donc d’être regardé.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/21 Indications
Partie I I.A.2.c Introduiref(x) = 4−1
x. Montrer que
∀x∈I = [2−√
3,2 +√
3] f(x)>x
et que f laisse I stable. En déduire que la suite (un)n∈N est croissante et converge.
I.B.1 DévelopperCnpar rapport à la première ligne, puis par rapport à la première colonne, pour trouver une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 satisfaite par la suite(cn)n∈N.
Faire de même avec Bn, pour exprimer bn en fonction de cn et cn−1, puis recommencer avecAn.
I.B.4.a Montrer que Ker (M−λId ) = {0}. Pour cela, prendre x = (xk) dans Ker (M−λId ) et montrer quexest le vecteur nul, en considérant |xi| tel que |xi| = max|xk| ainsi que l’égalité provenant de la ie ligne du système (M−λId )x= 0.
Partie II
II.A Construire par récurrence la fonction g sur[0, xk]. Remarquer au préalable que pour a et b réels, étant donné quatre réels (pi), il existe un unique polynômeP de degré au plus 3 tel que
P(a) =p1 P′(a) =p2 P′′(a) =p3 et P(3)(b) =p4
Faire attention au recollement des fonctions.
II.B.1.a Procéder comme dans la question précédente en remarquant cette fois que pour aet b deux réels distincts, étant donné quatre réels(pi), il existe un unique polynômePde degré au plus 3 tel que
P(a) =p1 P(b) =p2 P′′(a) =p3 et P′′(b) =p4
II.B.2 Penser au fait queg doit êtreC1 et écrire les conditions de recollement aux pointsxk.
II.B.4 Considérer l’application
T: S−→Rn+3
g7−→((g(xi))06i6n, g′(0), g′(1))
Montrer queTest un isomorphisme. Pour la surjectivité, on peut montrer que l’extension deTaux fonctions de classeC1est surjective.
II.C.1 Montrer que l’application T ci-dessus définie sur Rn+2[x] est un isomor- phisme. Pour l’injectivité, utiliser le théorème de Rolle pour produire n+ 2 zéros pour chaque élément du noyau.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/21
Partie III
III.A.2 LesLi sont les polynômes de Lagrange : regarder leurs racines.
III.A.3 Montrer queHadmet une base de la forme (ciLi−Ln)06i6n−1 et exprimer l’orthogonalité deNdans cette nouvelle base.
Penser au théorème de Pythagore afin de trouver une formule pour la distance à H.
III.B.2 Montrer queLi diviseϕ(Li)et en déduire qu’ils sont proportionnels.
III.B.4 Écrire les produits scalaires dans la base (Li).
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/21 I. Matrices tridiagonales
I.A.1 La méthode du pivot de Gauss consiste à effectuer des opérations élémentaires sur les lignes d’un système linéaire (ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres car on ne peut échanger les lignes) pour aboutir à un système triangulaire.
Notons(S2)sous forme matricielle. On commence par choisir le 2 en première position comme pivot ; l’étoile indique le pivot choisi.
2∗ 1 0 β1
1 4 1 β2
0 1 2 β3
L2←L2−12L1
−→
2 1 0 β1
0 7 2
∗
1 −1 2β1+β2
0 1 2 β3
L3←L3−72L2
−→
2 1 0 β1
0 7
2 1 −1
2β1+β2
0 0 12 7
∗ 1 7β1−2
7β2+β3
L2←L2−127L3
−→
2 1 0 β1
0 7
2 0 −7 12β1+7
6β2− 7 12β3
0 0 12 7
1 7β1−2
7β2+β3
L3←127L3
−→
2 1 0 β1
0 7
2 0 −7 12β1+7
6β2− 7 12β3
0 0 1 1
12β1−1 6β2+ 7
12β3
L2←27L2
L1←L−→1−L2
2 0 0 7
6β1−1 3β2+1
6β3
0 1 0 −1 6β1+1
3β2−1 6β3
0 0 1 1 12β1−1
6β2+ 7 12β3
d’où
x1 = 7
12β1 −1 6β2 +1
12β3
x2 =−1 6β1 +1
3β2 −1 6β3
x3 = 1
12β1 −1 6β2 +7
12β3
I.A.2.a On généralise la méthode de la question précédente en utilisant les termes de la diagonale de haut en bas pour supprimer les 1 sous la diagonale. On aboutit
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