Centrale Maths 1 PSI 2013 — Corrigé

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Centrale Maths 1 PSI 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Clément Mifsud (ENS Cachan) ; il a été relu par Émilie Liboz (Professeur agrégé à l’université) et Laëtitia Borel-Mathurin (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est consacrée à l’étude des coefficients de Fourier exponentiels, notés(ϕn(x))_n∈Z, de la fonction

Gx:

(R−→C t 7−→eⁱ^x^sin^t

oùxest un réel. Les fonctions(x7−→ϕn(x))n∈Zsont appelées fonctions de Bessel de première espèce.

• La première partie établit des propriétés simples des fonctionsϕnqui autorisent ensuite à restreindre leur étude à R₊ et au cas n > 0. Cette partie utilise l’ensemble des théorèmes associés aux séries de Fourier.

• La deuxième partie permet d’obtenir le développement en série entière des fonctions ϕn. On s’en sert ensuite pour écrire un programme qui permet de calculer la valeur deϕn(x)à une précision arbitraire.

• Les deux dernières parties utilisent la théorie des équations différentielles, plus particulièrement des résultats dits de Sturm-Liouville, pour étudier la réparti- tion des zéros des fonctionsϕn.

Ce sujet constitue un bon moyen de faire le point sur ses connaissances en analyse, car il utilise une grande partie du programme : séries de Fourier, séries entières, séries de fonctions, intégration sur un intervalle quelconque et équations différentielles.

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Indications

Partie I

I.C Si la fonction f est continue 2π-périodique sur R, son intégrale sur un intervalle de longueur2πest indépendante du choix de l’intervalle.

I.D Penser à l’identité de Parseval.

Partie II

II.A On pourra raisonner par l’absurde et utiliser la question I.D.

II.B Utiliser le développement en série entière de la fonction exponentielle ainsi que le théorème d’intégration terme à terme.

II.C.2 Ne pas oublier que, pour(k, l)∈Z, Z π

−π

eⁱ^kte⁻ⁱ^ltdt=

2π sik=l 0 sinon II.C.3 Se servir des questions II.B et II.C.2.

II.D Que vaut la dérivée d’une fonction développable en série entière ? II.E.2 Se souvenir du critère spécial des séries alternées.

Partie III

III.A.2 Dériver deux fois l’expression de z et diviser, pour x >0, l’équation III.1 parx√x.

III.A.3 Supposer par l’absurde qu’il existe x > 0 tel que (z(x), z^′(x)) = (0,0) et arriver à une contradiction grâce au théorème de Cauchy-Lipschitz.

III.A.4 Utiliser la question III.A.3 pour la fonctionzassociée à la fonctiony=ϕn. III.B.2.a Majorer l’expression obtenue à la question III.B.1 en fonction de A, B,λ

et h.

III.B.3 Penser au résultat de la question III.B.2.b.

III.B.4 La question III.B.3 pour la fonctionzassociée à la fonctiony=ϕn permet de conclure.

Partie IV

IV.C.1 Ne pas oublier que la fonctionqtend vers1en⁺∞. IV.C.2 La fonctionzest solution de l’équation III.2.

IV.D.2 L’inégalité provient de la stricte croissance de la suite α⁽ⁿ⁾_k

k∈N et de la question IV.C.3.

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I. Questions préliminaires

I.A.1 Soitx∈R. Soitp∈N. Notons

Sp(Gx) :







R−→C t 7−→

p

P

n=−p

ϕn(x)eⁱ^nt

la somme partielle de rang pde la série Fourier de la fonctionGx. La fonctionGx

étant continue surRet2π-périodique,

La suite des sommes partielles(Sp(Gx))_p∈N converge en moyenne quadratique versGx.

De plus la fonctionGx estC¹ surR, le théorème de convergence normale s’applique et par conséquent

La suite des sommes partielles(Sp(Gx))_p∈Nconverge normalement surRversGx. Comme la convergence normale d’une série de fonctions implique la convergence simple, on obtient

∀t∈R Gx(t) = eⁱ^xsin^t=

∞

P

n=−∞

ϕn(x)eⁱ^nt

I.A.2 Soitx∈R. Soitk∈N^∗. La fonctionGx estC^k surR. On en déduit que

∀n∈Z cn

G^(k)x

= (in)^kcn(Gx) = (in)^kϕn(x)

Or la fonctionG^(k)x est aussi continue et de classeC¹surR. En reprenant les notations de la question I.A.1, on sait que les sommes partielles

Sp G^(k)x

p∈N convergent normalement versG^(k)x et en particulier

cn

G^(k)x

−−−−−→_n→₊_∞ 0 Finalement |ϕn(Gx)|=

cn

G^(k)x

n^k

= o

n→⁺∞

1 n^k

I.B Soitx∈R. Soitn∈Z. D’après la relation de Chasles, ϕn(x) = 1

2π Z π

0

Gx(t)e⁻ⁱ^ntdt+ Z 0

−π

Gx(t)e⁻ⁱ^ntdt

soit en effectuant le changement de variableu=−tdans la seconde intégrale ϕn(x) = 1

2π Z π

0

Gx(t)e⁻ⁱ^ntdt+ Z π

0

Gx(−u)eⁱ^nudt

Par imparité de la fonction sinus,

∀t∈R Gx(−t) = eⁱ^x^sin(−t)= e⁻ⁱ^x^sin^t= Gx(t) ainsi ϕn(x) = 1

2π Z π

0

Gx(t)e⁻ⁱ^ntdt+ Z ^π

0

Gx(u)eⁱ^nudt

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Remarquons ensuite quee⁻ⁱ^nu= eⁱ^nu, d’où ϕn(x) = 1

2π Z π

0

Gx(u) e⁻ⁱ^nudu

Puis comme pour tout(z, z^′)∈C²,zz^′ =zz^′ ϕn(x) = 1

2π Z π

0

Gx(u)e⁻ⁱ^nudu

et de plus pour toutz∈C,z+z= 2Rez∈Ret par suite,

∀n∈Z ϕn(x) = 1 2π

Z π 0

2Re Gx(t)e⁻ⁱ^nt dt∈R

I.C Soitx∈R. D’après la relation sin(t+π) =−sin(t)valable pour tout t∈R, on a

∀t∈R Gx(t+π) = eⁱ^x^sin(t+π)= e⁻ⁱ^x^sint= G−x(t) et aussi d’après le résultat de la question I.B

∀t∈R Gx(t+π) = eⁱ^xsin(t+π)= e⁻ⁱ^x^sint= Gx(−t) Soitn∈Z. D’après le fait queGx(t+π) = G−x(t), on obtient

ϕn(−x) = 1 2π

Z π

−π

G−x(t)e⁻ⁱ^ntdt= 1 2π

Z π

−π

Gx(t+π)e⁻ⁱ^ntdt puis en utilisant le changement de variableu=t+π,

ϕn(−x) = 1 2π

Z 2π 0

Gx(u)e⁻ⁱ^n(u−π)du

Or pour toutu∈[ 0 ; 2π],e⁻ⁱ^n(u−π)= e⁻ⁱ^nueⁱ^nπ= (−1)ⁿe⁻ⁱ^nu et par conséquent,

ϕn(−x) = (−1)ⁿ 2π

Z 2π 0

Gx(u)e⁻ⁱ^nudu

Remarquons ensuite que l’intégrale d’une fonction f continue2π-périodique sur un intervalle de longueur 2π est indépendante du choix de l’intervalle. En appliquant ceci à la fonction2π-périodiqueu7−→Gx(u)e⁻^inu, il vient

ϕn(−x) = (−1)ⁿ 2π

Z π

−π

Gx(u)e⁻ⁱ^nudu= (−1)ⁿϕn(x)

Cette égalité implique en particulier que la fonctionϕn de la variable xest paire si l’entiernpair et impaire sinon. Autrement dit

La fonctionϕn a la parité den∈Z. Considérons maintenant

ϕ−n(x) = 1 2π

Z π

−π

Gx(t)eⁱ^ntdt Le changement de variableu=−tdonne par conséquent

ϕ−n(x) = 1 2π

Z π

−π

Gx(−u)e⁻ⁱ^nudu= 1 2π

Z π

−π

G−x(u)e⁻ⁱ^nudu=ϕn(−x) d’après le fait queG−x(t) = Gx(−t)pour toutt∈R.