Cours de mathématiques
Chapitre 10
Séries et séries de Fourier
3.14
3.14 6.28
−3.14
−6.28 f
Développement de Fourier à l’ordre 2 de la fonction2π-périodiquef(t) =−t 2+ π
2. S2(t) = π
2 −sin(t) +sin(2t) 2 .
Les fonctions sinusoïdales jouent un rôle essentiel dans l’étude des signaux périodiques. En particulier, pour certains systèmes électroniques, connaître la décomposition du signal péri- odique d’entrée en somme d’un signal constant et de signaux sinusoïdaux permet de mieux maîtriser le signal de sortie.
Plus précisement, nous allons nous intéresser aux deux problèmes suivants :
• Étant donné une fonction périodique qui peut décomposée en somme d’une fonction constante et de fonctions sinusoïdales de fréquences données, quelles sont les valeurs des coefficients intervenant dans une telle somme ?
• À quelle condition suffisante une fonction périodique peut-elle être décomposée ou reconsti- tuée à partir de ses composantes constante et sinusoïdales ?
Nous serons ainsi amenés à introduire le développement en série de Fourier d’une fonction.
Aymar de Saint-Seine Année scolaire 2011–2012
1. S ÉRIES NUMÉRIQUES
1.1. Définition
Définition 1 : Série
Soit(un)n∈N une suite numérique.
On poseSN =u0+u1+u2+· · ·+uN.On noteSN =
N
X
n=0
un.
• Si lim
N7→+∞SN existe et a une valeur finieS, on dit que la série
+∞
X
n=0
unde terme générale
unconverge versSet on écrit
+∞
X
n=0
un=S.
S est appelée somme de la série.
• Sinon, on dit que la série diverge.
Remarque : Si le termeu0n’existe pas, on fera la somme à partir dei= 1.
Si la série obtenue en remplaçantunpar|un|est convergente, on dit que la série est absolument convergente.
1.2. Séries géométriques
Théorème 1 (admis) : Séries géométriques
On appelle série géométrique de raisonq(q 6= 0) une série de la forme
∞
X
n=0
qn. Une série géométrique de raisonqconverge si et seulement si|q|<1.
Si|q|<1etq6= 0, on a :
∞
X
n=0
qn= 1 1−q.
Exemples : La série
∞
X
n=0
3n= 1 + 3 + 32+ 33+ 34+· · · est divergente.
La série
∞
X
n=0
−1 3
n
= 1− 1 3 + 1
32 − 1
33 +· · · est convergente et a pour valeur 1
1 + 13 = 3 4.
1.3. Convergence des séries à termes positifs
Théorème 2 (admis) : Critère de Riemann La série de terme général 1
nα est convergente si et seulement siα >1.
Exemple : Ce théorème prouve la convergence de
∞
X
n=0
1
n3 et la divergence de
∞
X
n=0
√1n =
∞
X
n=0
1 n12. Théorème 3 (admis) : Critère de comparaison
Si, pour toutn, on a06un 6vnalors :
• si la série
∞
X
n=0
undiverge, alors la série
∞
X
n=0
vndiverge ;
• si la série
∞
X
n=0
vnconverge, alors la série
∞
X
n=0
unconverge.
Exemple : Soit la série
∞
X
n=0
arctann n2 . Pour toutn >0, on a06arctann 6 π
2, donc06un6 π 2 × 1
n2. La série
∞
X
n=0
π 2 × 1
n2 = π 2
∞
X
n=0
1
n2 converge (critère de Riemann) donc la série
∞
X
n=0
arctann n2 converge.
Théorème 4 (admis) : Critère d’équivalence
Deux suites(un)n∈N et(vn)n∈N sont dites équivalentes si et seulement si lim
n7→∞
un
vn
= 1.
On noteun∼vn.
Si, pour toutn, on a06unet06vn, et si les suites(un)n∈Net(vn)n∈Nsont équivalentes, alors les séries
∞
X
n=0
unet
∞
X
n=0
vnsont de même nature.
Exemples :
• La série
∞
X
n=0
1
n2 + 1 est convergente car les suites de termes généraux 1
n2+ 1 et 1 n2 sont équivalentes. En effet, lim
n7→∞
n2+ 1 n2 = 1.
• La série
∞
X
n=0
√ n
n3 + 1 est divergente, car la suite de terme général n
√n3+ 1 est équivalente à la suite de terme général 1
√n et la série
∞
X
n=0
√1n est divergente (critère de Riemann).
Théorème 5 (admis) : Règle de d’Alembert
Soit une série de terme généralunstrictement positif.
On notel, la quantitél= lim
n7→∞
un+1
un .
• sil >1alors la série est divergente ;
• sil <1alors la série est convergente ;
• sil= 1, on ne peut pas conclure.
Exemple : Soit la série
∞
X
n=0
un =
∞
X
n=0
1 n!. Pour tout n, on a un > 0. De plus, un+1
un = n!
(n+ 1)! = 1
n+ 1; donc lim
n7→∞
un+1
un = 0 < 1..
D’après la règle de d’Alembert, la série
∞
X
n=0
1
n! converge.
1.4. Convergence des séries à termes quelconques
Théorème 6 (admis) : Absolue convergence Si la série
∞
X
n=0
|un|converge alors la série
∞
X
n=0
unconverge.
On dit que la série
∞
X
n=0
unest absolument convergente.
Remarque : Selon le théorème, une série absolument convergente est convergente. La réciproque n’est pas vraie. Il existe des séries qui sont convergentes mais pas absolument convergente. Un exemple est donné après le théorème 7 (série alternée) ci-dessous.
Exemple : Soit la série
∞
X
n=0
un =
∞
X
n=0
1
n3 sinnπ 3
. Pour toutn >0,|un|=| 1
n3 sinnπ 3
|6 1 n3. La série
∞
X
n=0
1
n3 est convergente (critère de Riemann), donc la série
∞
X
n=0
|un| converge (critère de comparaison), donc la série
∞
X
n=0
unest absolument convergente donc convergente.
Théorème 7 (admis) : Séries alternées
On dit qu’une série est alternée si ses termes sont alternativement positifs et négatifs.
Soit
∞
X
n=0
unune série alternée.
Si pour toutn,|un+1|6|un|et si lim
n7→∞un= 0alors la série est convergente.
Exemple : Soit la série
∞
X
n=0
un =
∞
X
n=0
(−1)n
n . C’est une série alternée.
Elle n’est pas absolument convergente car
∞
X
n=0
1
n diverge (critère de Riemann).
Cependant pour toutn > 0, 1
n+ 1 6 1
n donc|un+1| 6 |un|et on a lim
n7→∞un = 0, donc la série
∞
X
n=0
(−1)n
n est convergente (bien que pas absolument convergente).
2. S ÉRIES DE F OURIER
2.1. Introduction
Définition 2 : Série de Fourier
Une série de Fourier est une série dont le terme général est de la forme un =ancos(nωt) +bnsin(nωt)
C’est à dire, c’est la série
+∞
X
n=0
ancos(nωt) +bnsin(nωt) qui s’écrit encore :
a0 +
+∞
X
n=1
ancos(nωt) +bnsin(nωt).
Si pour tout réelt, cette série converge, elle définit une fonctionf de la variable réellet.
On dira que la série de Fourier converge versf(t).
Exemple : Prenonsω = 1, a0 = π
2, an = 0sin >0etbn = (−1)n n . La série de Fourier s’écrit alors :
S(t) = a0+
+∞
X
n=1
ancos(nωt) +bnsin(nωt)
= π 2 +
+∞
X
n=1
0 cos(nt) + (−1)n
n sin(nt)
= π 2 +
+∞
X
n=1
(−1)n
n sin(nt)
= π
2 −sin(nt) +sin(2t)
2 −sin(3t)
3 + sin(4t) 4 +· · ·
Pour ressentir si cette série converge, on trace les représentations graphiques de la somme des premières termes.
• Représentation graphique deS2(t) = π
2 −sin(t) + sin(2t) 2 : 3.14
3.14 6.28
−3.14
−6.28 f
• Représentation graphique deS5(t) = π
2 −sin(t) + sin(2t)
2 − sin(3t)
3 + sin(4t)
4 − sin(5t) 5 : 3.14
3.14 6.28
−3.14
−6.28 f
• Représentation graphique deS20(t) = π
2 −sin(t) + sin(2t)
2 − sin(3t)
3 +· · ·+ sin(20t) 20 : 3.14
3.14 6.28
−3.14
−6.28 f
Il semblerait que cette série converge vers la fonctionf de période2πdéfinie par f(t) = −t
2 +π
2 pourt∈]−π; +π[
3.14
3.14 6.28
−3.14
−6.28 f
Remarque : Aux points t = nπ
2 , on a discontinuité pour la fonction f. En fait, on peut remarquer qu’en ces points on aS(t) = π
2.
Ainsi, une série de Fourier étant donné, il arrive qu’elle converge vers une fonctionf. Nous allons nous interresser aux deux problèmes suivants :
• Si une série de Fourier converge vers une fonctionf, peut-on, à partir de la connaissance de f retrouver les coefficents de Fourieranetbnassociés àf? (voir sous-section b).
• Une fonction périodiquef étant donné, si j’arrive à calculer les coefficients de Fourier qui lui sont associés, à quelle condition suffisante la série de Fourier converge-t-elle vers f? (voir sous-section c).
Théorème 8 (admis) : Périodicité
Si une série de Fourier de terme généralun=ancos(nωt) +bnsin(nωt)converge vers f, alors la fonctionf est de périodeT = 2π
ω .
2.2. Calcul des coefficients de Fourier
Théorème 9 (admis) : Coefficients de Fourier
Si une série de Fourier de périodeT converge vers une fonctionfalors, pour tout nombre réelα, on a :
a0 = 1 T
Z α+T α
f(t)dt an = 2
T
Z α+T α
f(t) cos(nωt)dt bn= 2
T
Z α+T α
f(t) sin(nωt)dt et puisque la série converge (par définition) versf, on a :
f(t) =a0+
+∞
X
n=1
ancos(nωt) +bnsin(nωt).
Cette expression est appelée le développement en série de Fourier de la fonctionf. Les coefficientsanetbnsont appelés coefficients de Fourier associés à la fonctionf. Théorème 10 : Cas des fonctions paires
Sif est paire, on a :
bn= 0pour toutn; a0 = 2
T Z T2
0
f(t)dt=< f >(Valeur moyenne def) ; an= 4
T Z T2
0
f(t) cos(nωt)dt.
Démonstration :fest paire doncf(t) sin(nωt)est impaire. Son intégrale est donc nulle sur une période.
f est paire doncf(t) cos(nωt)est paire. Son intégrale est donc le double de celle obtenue sur une demi-
période.
Théorème 11 : Cas des fonctions impaires Sif est impaire, on a :
an= 0pour toutn; bn = 4
T Z T2
0
f(t) sin(nωt)dt.
Démonstration : similaire à la précédente.
Exemple : signal rectangulaire à alternance égales.
On considère la fonctionf impaire de périodeT, définie par f(t) = Ksit∈[0;T2[;
f(t) = −K sit∈[−T2 ; 0[.
K
−K
T
la fonctionf est impaire donc pour toutn, on aan = 0.
bn = 4 T
Z T2
0
f(t) sin(nωt)dt
= 4 T
Z T2
0
Ksin(nωt)dt
= 4K T
Z T2
0
sin(nωt)dt
= 4K T
1
nω [−cos(nωt)]
T 2
0
= 4K T nω
−cos(nωT
2) + cos(0)
orωT = 2πetcos(0) = 1, on en déduit quebn = 2K
nπ (−cos(nπ) + 1).
De plus, sinest pair, alorscos(nπ) = 1doncbn= 0 Sinest impair, alorscos(nπ) =−1doncbn = 4K La série de Fourier associée àf est donc : nπ
∞
X
n=1
bnsin(nωt) = a0+
+∞
X
n=1
ancos(nωt) +bnsin(nωt)
= 4K π
sin(ωt) + sin(3ωt)
3 +sin(5ωt) 5 +· · ·
= 4K π
∞
X
p=0
sin((2p+ 1)t) 2p+ 1
2.3. Convergence des séries de Fourier
Une fonctionf étant donnée, existe-il une série de Fourier associée àf qui converge versf? Définition 3 : Conditions de Dirichlet
Soit f une fonction périodique de période T. On dit que f satisfait aux conditions de Dirichlet si :
• sur une période, la fonction est définie, continue et dérivable et admet une dérivée continue, sauf éventuellement en un nombre fini de points.
• en ces points particuliers,f etf′ admettent des limites finies à gauche et à droite.
Théorème 12 (admis) : Théorème de Dirichlet
Soit f une fonction périodique de période T satisfaitant aux conditions de Dirichlet, alors :
• sif est continue ent0, la série de Fourier associée àf converge versf(t0);
• si f n’est pas continue en t0, la série de Fourier associée à f converge vers 1
2 f(t+0) +f(t−0) . avecf(t−0) = lim
t→t0 t < t0
f(t)etf(t+0) = lim
t→t0 t > t0
f(t)
Exemple : Reprenons l’exemple cité précédemment.
f est une fonction continue, dérivable (f′(t) = 0) sauf aux points de discontinuité de valeurs t =kT
2. En ces points particuliers,f (resp.f′) admettent des limites finies à gauche et à droite dont les valeurs sont±K (resp ;0). Doncf satisfait aux conditions de Dirichlet.
• Sit6= kT
2 ,f est continue et, d’après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier associée à f converge versf. On peut donc écrire :
sit6= kT
2 :f(t) = 4K π
sin(ωt) + sin(3ωt)
3 + sin(5ωt) 5 +· · ·
• Sit= kT
2 ,f est discontinue et, d’après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier associée àf converge vers1
2 f(t+0) +f(t−0)
= 1
2(K−K) = 0
Remarque : Une série de Fourier permet de calculer certaines séries numériques.
En effet, en prenantK = 1,T = 2π(doncω = 2π
T = 1) ett = π
2 dans l’exemple précedent, on obtient :
f(π
2) = K = 1 f(π
2) = 4 π
sin(π 2) +
sin(3π 2 )
3 +
sin(5π 2 ) 5 +· · ·
donc
1 = 4 π
1− 1
3+ 1 5− 1
7 +· · ·
et donc
1− 1 3 +1
5 −1
7 +· · ·= π 4
2.4. Analyse spectrale
Soitfune fonction périodique eta0+
+∞
X
n=1
ancos(nωt)+bnsin(nωt)sa série de Fourier associée.
Pourn >0fixé, on peut écrireancos(nωt) +bnsin(nωt) =Ansin(nωt−ϕn)avecAn >0.
OrAnsin(nωt−ϕn) =Ansin(nωt) cos(ϕn)−Ancos(nωt) sin(ϕn).
En identifiant, on trouve :
an = −Ansin(ϕn) bn = Ancos(ϕn) On en déduit que :
a2n = A2nsin2(ϕn) b2n = A2ncos2(ϕn)
En additionnant membre à membre :a2n+b2n=A2n sin2(ϕn) + cos2(ϕn)
=A2n. donc
An=p
a2n+b2n. Définition 4 : harmoniques
La série de Fourier associée àf peut s’écrire a0 +
+∞
X
n=1
Ansin(nωt−ϕn) avecAn = pa2n+b2n.
a0est la valeur moyenne def sur une période.
Les termes suivantsAnsin(nωt−ϕn)sont les harmoniques.
Le premier harmonique est parfois appelé le fondamental.
Définition 5 : Spectre des fréquences
Le spectre des fréquences est la représentation graphique par un diagramme en bâtons de la suite(An).
Exemple : Poursuivons l’exemple précédent.
On avaitan = 0etbn= 0(resp. 4K
nπ) sinest pair (resp.nimpair).
Ainsi,An =p
a2n+b2n = 0, sinest pair etAn= 4K
nπ sinest impair.
Spectre des fréquences def.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1 4K
π An
2.5. formule de Parseval
Théorème 13 (admis) : Formule de Parseval
Soitf une fonction périodique vérifiant les conditions de Dirichlet. Nous admettrons le résultat suivant appelé formule de Parseval1:
1 T
Z a+T a
f2(x)dx=a20+
∞
X
n=1
a2n+b2n 2
Lorsque l’intégrale est plus facile à calculer que la série, l’égalité de Parseval est un moyen de calculer la somme de certaines séries numériques.
Exemple : En reprenant l’exemple ci-dessus, on a :
• 1 T
Z T 0
f2(t)dt= 1 T
Z T 0
K2dt= K2
T [t]T0 =K2
• a20+
∞
X
n=1
a2n+b2n
2 = 0+1 2
42K2
π2 + 42K2
32π2 +42K2
52π2 +42K2 72π2 +· · ·
= 8K2 π2
1 + 1
32 + 1 52 + 1
72 +· · ·
. d’après la formule de Parseval, on obtient,
8K2 π2
1 + 1
32 + 1 52 + 1
72 +· · ·
=K2 soit
1 + 1 32 + 1
52 + 1
72 +· · ·= π2 8
Dans de nombreuses applications physiques (courant électrique par exemple), cette formule peut s’interpréter comme suit : l’énergie totale s’obtient en sommant les contributions des dif-
férents harmoniques. En effet, calculons la valeur efficaceEndes harmoniques.
En2 = 1 T
Z T 0
(Ansin(nωt−ϕn))2dt
= A2n T
Z T 0
sin2(nωt−ϕn)dt
= A2n T
Z T 0
1−cos(2nωt−2ϕn)
2 dt (car formule trigo)
= A2n
2T [t]T0 −
sin(2nωt−2ϕn) 2nω
T 0
!
= A2n 2T
T − sin(2nωT −2ϕn)
2nω +sin(−2ϕn) 2nω
= A2n 2T
T − sin(4πn−2ϕn)
2nω + sin(−2ϕn) 2nω
(carωT = 2π)
= A2n
2TT (car sinus de période2π)
= A2n 2
= a2n+b2n 2 Théorème 14 :
Sur une période,
(valeur efficace def)2 =
(valeur moyenne def)2 +P
(valeurs efficaces des harmoniques)2
3. E XERCICES
3.1. Séries
10.1 Écrire les cinq premiers termes de chacune des séries suivantes : 1.
+∞
X
n=1
1−(−1)n
n ;
2.
+∞
X
n=1
1
n2 sinnπ 2
;
3.
+∞
X
n=1
1 2n+ 1cos
2nπ 3
.
10.2 En utilisant le théorème indiqué, déterminer si les séries numériques suivantes, dont le terme général est(un)n∈Nsont convergentes ou divergentes :
1. un = 2
3 n
(séries géométriques) ; 2. un =
3 2
n
(séries géométriques) ; 3. un = 3
n3 (séries de Riemann) ; 4. un = 2√
n
n (séries de Riemann) ; 5. un = 1
n2 + 3 (équivalence) ;
6. un= 5n
n2+ 1 (équivalence) ; 7. un= n
3n (règle de d’Alembert) ; 8. un= 3n
n3 (règle de d’Alembert) ; 9. un= (−1)n
n(n+ 1) (séries alternées) ; 10. un= (−1)n
n+ 1 (séries alternées) ; 11. un= (−1)n(n+ 1)(séries alternées).
10.3 Étudier si les séries suivantes convergent ou divergent : 1. un = 1
2n2−1; 2. un = 22
n!;
3. un= n2 (2n)!; 4. un= 3n
n2−1;
5. un= sin2n 3n2 ;
10.4 Démontrer que le suites(un)n∈N définie par un = 3n+ 1
5n2 −4 et(vn)n∈N définie parvn = 3
5n sont équivalentes.
Déterminer la nature de la série
∞
X
n=1
un.
10.5 La série
∞
X
n=1
cos(nπ)
n2 est-elle absolument convergente ? convergente ? 10.6 La série
∞
X
n=1
cos(nπ)
n est-elle absolument convergente ? convergente ? 10.7 Série télescopique.
1. Trouver une suite simple équivalente à la suite(un)n∈N définie parun= 1
n2+ 3n+ 2. En déduire que la série
∞
X
n=0
unconverge.
2. Prouver que pour toutn, il existe deux réelsAetB que l’on déterminera, tels que : un= A
n+ 1 + B n+ 2 3. En déduire la somme de la série
∞
X
n=1
un.
3.2. Séries de Fourier
10.8 Dents de scie à front raide de valeur moyenne nulle.
On considère la fonctionf définie sur R de période2π, telle que :f(t) =tsit ∈[−π; +π[.
Soitanetbnles coefficients de Fourier de cette fonction.
1. Représenter la fonctionf sur l’intervalle]−2π; 4π].
2. Justifier que pour toutn,an = 0.
3. Prouver que pour toutn >0,bn= 2
n(−1)n+1.
4. Écrire les cinq premiers termes de la série de Fourier associée àf. 5. En appliquant la formule de Parseval, montrer que
∞
X
n=1
1 n2 = π2
6 . 6. Dessiner le spectre des fréquences de la fonction.
10.9 Dents de scie symétriques de valeur moyenne nulle.
On considère la fonctionf définie sur R, impaire et de période4, telle que : f(t) = tsit∈[0; 1[;
f(t) = −t+ 2sit∈[1; 2[.
Soitanetbnles coefficients de Fourier de cette fonction.
1. Représenter la fonctionf sur l’intervalle]−2; 6].
2. Quelles sont les valeurs des coefficientsan? 3. Prouver que pour toutn >0,bn= 8
n2π2 sinnπ 2
.
4. Écrire les cinq premiers termes de la série de Fourier associée àf. 5. a. La série de Fourier associée àf converge-t-elle versf?
b. Calculerf(1)et en déduire la valeur de la série1 + 312 +512 +· · ·. 6. Dessiner le spectre des fréquences de la fonction.
10.10 On considère la fonctionf, paire, de période2πdéfinie par :
f(t) = −t+π
2 sit ∈[0;π 2[;
f(t) = 0sit∈[π 2;π[.
1. Représenter la fonctionf sur l’intervalle]−2π; 4π].
2. Calculer la valeur moyenne def sur une période.
3. Calculer les coefficients de Fourier def.
Suivant les valeurs den, donner les valeurs possibles dean (présenter les résultats dans un tableau).
4. Dessiner le spectre des fréquences de la fonction.
5. Prouver que la série de Fourier associée àfconverge versf. On considère la série numérique
S = 1 12 + 2
22 + 1 32 + 1
52 + 2 62 + 1
72 + 1 92 + 2
102 + 1
112 +· · · En étudiantf(0), donner la valeur de cette série.
6. On considère la fonctiong(t) = π 8 + 2
πcos(t) + 1
πcos(2t).
a. Montrer queg est paire, et de période2π.
b. Prouver queg′(t) = −2
π sint(1 + 2 cost).
c. Dresser le tableau de variation deg sur l’intervalle[0;π].
d. Dessiner les courbes représentatives des fonctionsf etg sur l’intervalle[0; 2π]
10.11
1. Soitnun entier naturel non nul.
Cacluler à l’aide de deux intégrations par parties successives l’intégrale : J =
Z π 0
t(π−t) cos(2nt)dt.
2. On considère la fonctionudéfinie sur R, de périodeπ, définie par : u(t) =t(π−t)sit∈[0;π[
a. Montrer queuest paire et tracer sa représentation graphique sur[−2π; 2π].
b. Montrer quef satisfait aux conditions de Dirichlet.
c. Calculer ses coefficients de Fourier et en déduire que pout tout réelt: u(t) = π2
6 −
∞
X
n=1
cos(2nt) n2
3. n est un entier naturel non nul, justifier la convergence des séries numériques de terme général :
1
n2 ; (−1)n
n2 ; 1
n4
4. En utilisant le developpement deuen série de Fourier pourt= 0ett= π
2, déterminer :
∞
X
n=1
1
n2 et
∞
X
n=1
(−1)n n2 .
5. La valeur efficaceuede la fonctionuest telle que(ue)2 = 1 π
Z π 0
u2(t)dt.
Calculeru2e.
La valeur efficace de la fonctionupeut aussi s’exprimer à l’aide de la formule de Parse- val :
u2e =a20 +1 2
∞
X
n=1
a2n.
SoitP le nombre défini parP =a20+1
2(a21+a22+a23+a24+a25).
Donner l’approximation deP à10−3 par excès. Vérifier que P
u2e >0,999.
6. En utilisant la formule de Parseval, calculer
∞
X
n=1
1 n4.
3.3. Annales
10.12 France 2005
1. Soit la fonction numériqueg définie sur[0;π]par
g(t) = (1 + cos2t) sin2t.
a. Montrer queg′(t) = 4 sintcos3t.
b. En déduire les variations deg sur[0;π].
2. Soit la fonction numériquef définie sur R, paire, périodique de période1telle que :
f(t) = 1
2 −τ si06t6τ f(t) = −τ siτ 6t6 1
2
oùτ est un nombre réel tel que0< τ < 1 2
a. Uniquement dans cette question, on prendraτ = 1 6.
Représenter la fonctionf sur l’intervalle[−1 ; 1]dans un repère orthonormal.
b. On admet que la fonctionf satisfait aux conditions de Dirichlet.
SoitS le développement en série de Fourier associé à la fonctionf. Montrer que :
S(t) =
+∞
X
n=1
1
nπ sin(2nπτ) cos(2nπt).
3. On décide de ne conserver que les harmoniques de rang inférieur ou égal à2.
Soit la fonction numériquehdéfinie surRpar : h(t) = 1
πsin(2πτ) cos(2πt) + 1
2π sin(4πτ) cos(4πt) On désigne parEh2 le carré de la valeur efficace dehsur une période.
a. À l’aide de la formule de Parseval, déterminerEh2. b. Montrer queEh2 = 1
2π2 g(2πτ).
4. Déterminer la valeur deτ rendantEh2 maximal.
10.13 France 2006
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Soientαetβdeux nombres réels.
Soitf une fonction périodique de période1, définie sur l’intervalle[0 ; 1[parf(t) =αt+β.
On appellea0,anetbnles coefficients de Fourier associés à la fonctionf. 1. Montrer quea0 = α
2 +β.
2. Montrer quebn=− α
nπ pour tout nombre entier naturelnnon nul. On admet quean= 0 pour tout entier naturelnnon nul.
3. On se propose de déterminer les nombres réels α et β pour que le développement S en série de Fourier de la fonction f soit défini pour tout nombre réel t par S(t) =
+∞
X
n=1
1
nsin(2nπt).
a. Déterminer les nombres réelsαetβ tels quea0 = 0etbn = 1 n. En déduire l’expression de la fonctionf.
b. Représenter la fonctionf sur l’intervalle[−2 ; 2]dans un repère orthogonal.
Partie B
On veut résoudre l’équation différentielle :
s”(t) +s(t) =f(t)
On admet que l’on obtient une bonne approximation de la fonctionsen remplaçantf(t)par les premiers termes du développement en série de Fourier de la fonctionf obtenus dans la partie A, c’est-à-dire par :
sin(2πt) + 1
2sin(4πt) Soit (E) l’équation différentielle :
s”(t) +s(t) = sin(2πt) + 1
2sin(4πt) 1. Vérifier que la fonctions1définie pour tout nombre réeltpar :
s1(t) = 1
1−4π2 sin(2πt) + 1
2(1−16π2)sin(4πt) est solution de l’équation différentielle (E).
2. Résoudre l’équation différentielle (E).
10.14 Nouvelle calédonie 2008.
On désigne parαun nombre réel positif tel que0< α < π 2.
On considère la fonctionf définie surR, paire, périodique de période2π, telle que :
f(t) = 1 si 06t6α f(t) = 0 si α < t < π−α f(t) = −1 si π−α6t 6π 1. Dans cette question, le nombre réelαvaut π
3.
Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonctionfsur l’intervalle[−2π; 2π].
2. On appelleSla série de Fourier associée à la fonctionf . On noteS(t) =a0+
+∞
X
n=1
(ancos(nt) +bnsin(nt)).
Le but de cette question est de calculer les coefficients de la série de FourierS pour une valeurxquelconque du nombre réelαtel que0< α < π
2.
a. Calculera0, valeur moyenne de la fonctionf sur une période.
b. Déterminerbn, ndésignant un nombre entier naturel strictement positif.
c. Montrer que, pour tout nombre entier naturelnstrictement positif, on a :
an = 2
nπ [1−(−1)n] sin(nα).
3. Déterminer la valeurα0deαpour laquelle ona3 = 0.
4. Pour toute la suite de l’exercice, on se place dans le cas oùα= π 3. Rappels :
Sihdésigne une fonction périodique de périodeT, le carré de la valeur efficaceH de la fonctionhsur une période est :
H2 = 1 T
Z r+T r
[h(t)]2dt.
rdésignant un nombre réel quelconque.
a. CalculerF2, carré de la valeur efficace de la fonctionf sur une période.
b. On définit sur R la fonctiong par :
g(t) =a0+a1cos(t) +b1sint+a2cos(2t) +b2sin(2t).
Montrer queg(t) = 2√ 3
π cos(t)pour tout nombre réelt.
c. CalculerG2, carré de la valeur efficace de la fonctiongsur une période.
d. Donner une valeur approchée à10−3 près du quotient G2 F2.
Ce dernier résultat montre que la fonctiong constitue une assez bonne approxima- tion de la fonctionf.
10.15 France 2007
Dans ce problème, on approche un signal à l’aide d’une fonction affine par morceaux.
On désigne parE un nombre réel de l’intervalle]0 ; 3[.
On considère la fonctionf définie sur R, paire, périodique de période 5, telle que :
f(t) =
E×t si 06t <1 (3−E)t+ 2E−3 si 16t <2 3 si 26t6 5 2
Partie A
Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas oùE = 2.
1. Préciser l’écriture def(t)sur chacun des intervalles[0 ; 1[, [1 ; 2[et 2 ; 52
. 2. Représenter graphiquement la fonctionf sur l’intervalle[−5 ; 10].
Partie B
Dans cette partie, on se place dans le cas général, c’est-à-dire dans le cas où la valeur de E n’est pas spécifiée.
On appelleSla série de Fourier associée à la fonctionf. On noteS(t) = a0+
+∞
X
n=1
ancos
2nπ 5 t
+bnsin 2nπ
5 t
.
1. Montrer que la valeur moyenne de la fonctionf sur une période esta0 = 2E+ 3 5 . 2. Déterminerbnpour tout entier naturelnsupérieur ou égal à1.
3. a. Montrer que pour tout nombre entier naturelnsupérieur ou égal à 1 : Z 1
0
tcos 2nπ
5 t
dt= 5 2nπ sin
2nπ 5
+ 25 4n2π2
cos
2nπ 5
−1
.
b. On a calculé les intégrales Z 2
1
f(t) cos 2nπ
5 t
dtet Z 52
2
f(t) cos 2nπ
5 t
dt.
On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturelnsupérieur ou égal à 1 : Z 52
0
f(t) cos 2nπ
5 t
dt= 25 4n2π2
(2E−3) cos 2nπ
5
+ (3−E) cos 4nπ
5
−E
.
En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 1 : an = 5
n2π2
(2E−3) cos 2nπ
5
+ (3−E) cos 4nπ
5
−E
.
4. Pour tout nombre entier natureln supérieur ou égal à 1, on appelle un l’harmonique de rangn.
On a alorsun(t) =ancos 2nπ
5 t
+bnsin 2nπ
5 t
pour tout nombre réelt.
a. Montrer qu’au rang 5,u5(t)est nul pour tout nombre réelt.
b. On appelleE0 la valeur deEpour laquelle l’harmonique de rang 3 est nulle, c’est- à-dire la valeur deEtelle queu3(t)est nul pour tout nombre réelt.
Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à10−2 près, deE0.
Dans ce problème, à l’aide d’un transformateur à diode, on approche un signal sinusoïdal redressé par une fonction affine par morceaux.
Un tel signal avec u3(t) =u5(t) = 0permettra :
•s’il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple
•s’il est associé à un transformateur, d’éviter les pertes
•s’il est associé à un filtre, d’éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair d’ordre supérieur.
1 Séries numériques . . . 1
1.1 Définition . . . 1
1.2 Séries géométriques . . . 1
1.3 Convergence des séries à termes positifs . . . 1
1.4 Convergence des séries à termes quelconques . . . 3
2 Séries de Fourier . . . 4
2.1 Introduction. . . 4
2.2 Calcul des coefficients de Fourier . . . 6
2.3 Convergence des séries de Fourier . . . 8
2.4 Analyse spectrale . . . 9
2.5 formule de Parseval . . . 10
3 Exercices . . . 11
3.1 Séries . . . 11
3.2 Séries de Fourier . . . 13
3.3 Annales . . . 15
