NOM : ENONCE ET FEUILLE-REPONSE
La fonction sinus redressée est la fonction f, paire, π-périodique, et telle que, pour tout x de [0 ; π], f(x) = sin x. On note a0 +
(
n n)
n 1
a cos n x b sin n x
+∞
=
ω + ω
∑
la série de Fourier associée à f.1) Donner une écriture linéarisée de sin x cos nx (c’est à dire une somme algébrique de sinus ou de cosinus, avec des exposants égaux à 1).
2) Prouver que pour tout n entier non nul, an =
(
1 4n4 2)
π − .
3) Ecrire la série de Fourier associée à f, en explicitant les coefficients.
4) Que vaut 2 n
n 1
( 1) 4n 1
+∞
=
−
∑
− ? Le résultat sera mis sous une forme fractionnaire « simplifiée ».Eléments pour un corrigé
La fonction sinus redressée est la fonction f, paire, π-périodique, et telle que, pour tout x de [0 ; π], f(x) = sin x. On note a0 +
(
n n)
n 1
a cos n x b sin n x
+∞
=
ω + ω
∑
la série de Fourier associée à f.1) Donner une écriture linéarisée de sin x cos nx (c’est à dire une somme algébrique de sinus ou de cosinus, avec des exposants égaux à 1).
Pour tout x, sin x cos nx = 1sin(x nx) 1sin(x nx)
2 + +2 −
2) Prouver que pour tout n entier non nul, an =
(
1 4n4 2)
π − .
A l’aide du th.1, f étant π-périodique, et telle que, pour tout x de [0 ; π], f(x) = sin x : pour tout n entier non nul, an =
0
2 πsin t cos(2nt) dt
π
∫
.En utilisant le résultat de 1) et des règles de calculs élémentaires : an = 1 0π
[
sin(1 2n)t sin(1 2n)t dt+ + −]
π
∫
soit encore (th.2) an =
0
1 1 1
cos(1 2n)t cos(1 2n)t
1 2n 1 2n
− + − − π
π + −
soit (th.3) an = 1 1 cos 1 cos 1 cos 0 1 cos 0
1 2n 1 2n 1 2n 1 2n
− π − π + +
π + − + −
d’où (th.4) an = 1 4 2 1 4n
π − .
Th.1 : si f est T-périodique, alors pour tout n entier non nul, les coefficients « an » de Fourier de f sont donnés par :
T n
a 2 f (t) cos(n t) dt T
α+
=
∫
α ωoù α est une constante réelle quelconque, ωT = 2π.
Th.2 : (cos ax)’ = -a sin ax
Th.3 : pour tout entire n, cos(x + 2nπ) = cos x th.4 : cos π = -1 et cos 0 = 1
3) Ecrire la série de Fourier associée à f, en explicitant les coefficients.
En appelant S la série de Fourier associée à f, pour tout x, S(x) =
(
2)
n 1
2 4
cos 2nt 1 4n
+∞
=
π+
∑
π − 4) Que vautn n 1 2
( 1) 4n 1
+∞
=
−
∑
− ? Le résultat sera mis sous une forme fractionnaire « simplifiée ». 2 4− π
