Séries de Fourier

NOM :

Soit f la fonction numérique définie sur R, paire, 2-périodique et telle que f(t) = 2t – 1 si t ∈ [0 ; 1]. On suppose que f satisfait aux conditions de Dirichlet. On note S(t) la série de Fourier associée à f.

1) Représenter f dans le repère ci-contre, sur l'intervalle [-3 ; +3].

2) Compléter (valeurs exactes

sous formes fractionnaires): ω = a0 = 3) Justifier que bn = 0 pour n ≥ 1.

4) Présenter un calcul justifié de an pour n ≥ 1.

5) Préciser, sous formes fractionnaires simplifiées, a2p

et a2p+1. p∈N. a2p = a2p+1 =

6) Ecrire S(t) 7) Justifier l’affirmation S(t) = f(t) pour tout nombre réel t.

8) En déduire que la somme

( )

²

p 0

1 2p 1

+∞

= +

∑

, p∈N, est finie, et l’écrire sous forme fractionnaire (au dos de cette feuille).

Eléments pour un corrigé

Soit f la fonction numérique définie sur R, paire, 2-périodique et telle que f(t) = 2t – 1 si t ∈ [0 ; 1]. On suppose que f satisfait aux conditions de Dirichlet. On note S(t) la série de Fourier associée à f.

1) Représenter f dans le repère ci-contre, sur l'intervalle [-3 ; +3].

2) Compléter (valeurs exactes sous formes

simplifiées): ω = π a0 = 0

3) Justifier que bn = 0 pour n ≥ 1.

(th.) Si une fonction f est T-périodique et paire, alors pour tout n de N, bn = 0.

Or ici f est 2-périodique et paire (données de l’énoncé) donc pour tout n de N, bn = 0.

4) Présenter un calcul justifié de an pour n ≥ 1.

On a ω = π (question 2)), d’où (th.1) a_n = ^{1 2}

1

2 f (t) cos(n t)dt 2

− +

− π

∫

^,

soit encore an = ¹

1f (t) cos(n t)dt

− π

∫

^.

Or f est paire, et t → cos(nπt) est paire donc t → f(t)cos(nπt) est aussi une fonction paire, donc (th.2) an = 2 ¹

0f (t) cos(n t)dtπ

∫

^.

Sur [0 ; 1], f(t) = 2t – 1, donc an = 2 ¹

0(2t 1) cos(n t)dt− π

∫

^.

Par ailleurs (th.3 et th.4),

1

0(2t 1) cos(n t)dt− π

∫

^{= 1} 0¹

0

sin(n t) sin(n t)

(2t 1) 2 dt

n n

π π

 −  −

 π  π

 

∫

^,

d’où (th.5 et th.6) ¹

0(2t 1) cos(n t)dt− π

∫

0¹

2 sin(n t)dt

= −n π π

∫

d’où (th.4) ¹

0(2t 1) cos(n t)dt− π

∫

¹

0

2 cos(n t)

n n

 π 

= − π− π  soit (th.5) ¹

0(2t 1) cos(n t)dt− π

∫

2 2

^{( )}

2 2

(

ⁿ

)

2 2

cos(n ) 1 ( 1) 1

n n

= π − = − −

π π

et finalement an = 2 2

( )

2 2

(

ⁿ

)

4 4

cos(n ) 1 ( 1) 1

n n

= π − = − −

π π

Th.1 : Si f est T-périodique alors an = 2 ^T

f (t) cos(n t)dt T

α+

α ω

∫

, où α est un

réel arbitraire et ω la pulsation associée à la période T.

Th.2 : si f est paire et intégrable sur [-a ; a],

alors ^{a a}

af (t)dt 2 f (t)dt0

− =

∫ ∫

^.

Th.3 (intégration par parties) :

[ ]

b b b

au '(t)v(t)dt= u(t)v(t)a− au(t)v '(t)dt

∫ ∫

Th.4 : pour tout x, (sin(ax))’ = a cos(ax) et (cos(ax))’ = -asin(ax).

Th.5 : pour tout n de N, sin(nπ) = 0 et cos(nπ) = (-1)ⁿ.

Th.6 : « propriétés de linéarité de l’intégration ».

5) Préciser, sous formes fractionnaires simplifiées, a2p

et a2p+1, p∈N. a2p = 0 a2p+1

( ( ) )

2 2 2 2

4 cos (2p 1) 1 8

(2p 1) (2p 1)

+ π − −

= =

+ π + π

6) Ecrire S(t)

Pour tout t, S(t) = _{2 2}

( )

n 1

4 cos(n ) 1 cos(n t) n

+∞

=

π − π

∑

π ^ou 2 2

(

ⁿ

)

n 1

4 ( 1) 1 cos(n t) n

+∞

=

− − π

∑

π ^ou

S(t) =

( ( ) ) _{( )}

2 2 p 0

4 cos (2p 1) 1

cos (2p 1) t (2p 1)

+∞

=

+ π − + π + π

∑

^ou 2 2

^{( )}

p 0

8 cos (2p 1) t (2p 1)

+∞

=

− + π

+ π

∑

7) Justifier l’affirmation S(t) = f(t) pour tout nombre réel t.

La fonction f vérifie les conditions

d’application du th.7 (données de l’énoncé), et f est continue sur R (« évident »), donc (th.7), pour tout t, S(t) = f(t).

Th. 7 (dit De Dirichlet) : Si f vérifie les conditions dites de Dirichlet, alors, si f est continue en t, S(t) = f(t) et S(t) = f (t ) f (t )

2

+ + −

sinon.

8) En déduire que la somme

( )

²

p 0

1 2p 1

+∞

= +

∑

, p∈N, est finie, et l’écrire sous forme fractionnaire (au dos de cette feuille).

On a cos ((2p + 1)π) = cos (2pπ + π) = cos π = -1.

Par suite, sachant que S(1) = f(1) = 1, S(1) est donc une série convergente.

Or S(1) = _{2 2}

( )

_{2 2 2 2}

p 0 p 0 p 0

8 cos (2p 1) 8 ( 1) 8 1

(2p 1) (2p 1) (2p 1)

+∞ +∞ +∞

= = =

− + π = − − =

+ π + π π +

∑ ∑ ∑

^donc 2 2

p 0

8 1 1

(2p 1)

+∞

=

π

∑

+ = et finalement,

2 p 0 2

1

8 (2p 1)

+∞

=

= π

∑

+ ^.

Pour la question 8) : des étudiants ont demandé pourquoi prendre t = 1, alors que t = 0 est beaucoup plus simple ? Ils ont évidemment raison, et les éléments proposés étaient faits pour provoquer une réaction … (venue tardivement).

Ceci écrit, le raisonnement proposé était tout à fait valable. Mais on peut lui préférer celui qui suit.

Eléments pour un corrigé

Sachant que S(0) = f(0) = -1, S(0) est donc une série convergente.

Or S(0) = _{2 2 2 2 2 2}

p 0 p 0 p 0

8 cos 0 8 8 1

(2p 1) (2p 1) (2p 1)

+∞ +∞ +∞

= = =

− = − = −

+ π + π π +

∑ ∑ ∑

^donc 2 2

p 0

8 1 1

(2p 1)

+∞

=

π

∑

+ = et finalement,

2 p 0 2

1

8 (2p 1)

+∞

=

= π

∑

+ ^.