Séries de Fourier

Séries de Fourier

____________

A. Séries trigonométriques.

1. Définitions.

2. Propriétés.

3. Exemples.

B. Séries de Fourier.

1. Définitions, premières propriétés.

2. Convergence en moyenne quadratique.

3. Un théorème de convergence uniforme.

4. Théorème de Dirichlet.

5. Exemples de développements en série de Fourier.

6. Convolution, suites en delta.

Pierre-Jean Hormière ____________

« L’étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. (…) L‘analyse mathématique est aussi étendue que la nature elle-même ; elle définit tous les rapports sensibles, mesure les temps, les espaces, les forces, les températures. »

Joseph Fourier, Théorie analytique le la chaleur (1822)

« Les progrès des sciences, les progrès en médecine, tous les progrès auxquels nous pouvons penser traduisent et aggravent les inégalités dans le monde. Ils pourraient être au bénéfice de tous, ils sont d’abord au service des riches et des puissants ».

Jean-Pierre Kahane (mai 2017)

Les séries trigonométriques et les séries de Fourier constituent deux théories bien distinctes, même si elles ont des liens profonds, et dialectiques.

Une série trigonométrique est une série de la forme a₀/2 +

∑

_n≥1 a_n.cos(nθ) + b_n.sin(nθ). Se posent à son sujet des questions simples et naturelles : en quels points converge-t-elle ? Sur quels domaines y a-t-il convergence uniforme ? convergence en moyenne quadratique ? si elle converge simplement sur R, quelles sont les propriétés de la fonction somme f(θ) ? les coefficients an et b_n sont-ils uniques ? s’expriment-ils simplement à l’aide de f ?

Les séries de Fourier posent le problème inverse : étant donnée une fonction f 2π–périodique, peut- on la représenter comme somme d’une série trigonométrique, c’est-à-dire comme une superposition d’ondes de fréquences de plus en plus petites ? Si tel est le cas, le plus souvent, les a_n et b_n sont les coefficients de Fourier de f. Tout revient alors à former la série de Fourier de f, et à examiner les relations qu’elle entretient avec cette série. Du coup, revenantaux sériestrigonométriques, si la série a₀/2 +

∑

_n≥1a_n.cos(nθ) + b_n.sin(nθ) converge sur R et a pour somme f(θ), est-elle la série de Fourier de sa somme ?

Ces deux théories ont pour point de départ les travaux de Fourier sur la propagation de la chaleur dans les solides. Elles se sont développées simultanément depuis deux siècles. Elles ont dû pour cela surmonter, dès leur naissance, de multiples objections et obstacles, car le moins qu’on puisse dire est qu’elles ne sont pas faciles ! Mais les résultats établis ont eu des retombées dans des domaines

voisins, appliqués (équations aux dérivées partielles) ou théoriques (topologie et théorie des ensembles, intégration, analyse fonctionnelle, théorie spectrale, …)

Commençons par rappeler que si f est une fonction 2π–périodique R → C réglée sur (tout segment de) R, l’intégrale

∫

_a^a+2πf(t).dt est indépendante de a, et sera souvent notée

∫

_(2π)^f(t).dt.

A. Séries trigonométriques

1. Définitions.

1.1. Polynômes trigonométriques.

Définition 1 : Pour tout n ∈ Z, on note en la fonction θ → e^inθ. On appelle polynôme trigono- métrique toute combinaison linéaire de ces fonctions.

Comme toute partie finie de Z est incluse dans un intervalle [−n, n], un polynôme trigonométrique s’écrit sous la forme : P(θ) =

∑

−

= n

n k

ik ke

c. ^θ (1) ou encore, compte tenu des formules d’Euler, sous la forme :

P(θ) = 2 a0

+

∑

= n +

k

k

k k b k

a

1

) sin(

. ) cos(

. θ θ (2) (1) est l’écriture exponentielle, (2) l’écriture trigonométrique de P.

Proposition 1 : Les (e_n)_n∈Z forment une C-base de l’espace PPPP des polynômes trigonométriques.

Corollaire : Les fonctions θ → ½, θ → cos(kθ) et θ → sin(kθ) (k ≥ 1), forment une C-base de PPPP _{, et} une R-base de l’espace des polynôme trigonométriques réels.

La preuve qui est le plus dans l’esprit du chapitre repose sur les relations d’orthogonalité : ²¹

π ∫

(2π) e^−imθ.e^inθ.dθ = δm,n ∀(m, n) ∈ Z²

π

¹

∫

(2π) cos(mθ).cos(nθ).dθ = 0 si m ≠ n , 2 si m = n = 0 , 1 si m = n ≥ 1

π

¹

∫

(2π) sin(mθ).sin(nθ).dθ = 0 si m ≠ n , 1 si m = n ≥ 1.

Du coup, siP(θ) =

∑

−

= n

n k

ik ke c. ^θ =

2 a0

+

∑

= n +

k

k

k k b k

a

1

) sin(

. ) cos(

. θ θ , on a les formules de Fourier:

(∀k ∈ Z) c_k = ²¹

π ∫

(2π) P(θ).e^−ikθ.dθ

(∀k ∈ N) a_k =

π

¹

∫

_(2π) P(θ).cos(kθ).dθ et (∀k ∈ N*) b_k =

π

¹

∫

_(2π) P(θ).sin(kθ).dθ La liberté s’en déduit. Le caractère générateur était évident. Au fond, la liberté des deux familles découle de ce que ce sont des familles orthogonales de vecteurs non nuls pour le produit scalaire hermitien ( P | Q ) = ²¹

π ∫

(2π) ^P(θ^).Q(θ^).dθ ^{sur PPPP.} Autres propriétés des polynômes trigonométriques :

1) P est une algèbre pour la multiplication usuelle, stable par dérivation.

2) P est à valeurs réelles ssi les a_k et b_k sont réels, ou encore ssi c₀ ∈ R et c_−k = ck pour tout k.

P est pair ssi les b_k sont nuls, ou encore ssi c_−k = c_k pour tout k.

P est impair ssi les a_k sont nuls, ou encore ssi c_−k = − c_k pour tout k (donc c₀ = 0).

Exercice 1 : Donner d’autres preuves de la proposition 1.

Exercice 2 : Montrer pour tout 0 ≤ k ≤ n Cn^k = ²¹

π ∫

₋⁺_π^π(2.cos

^θ

₂^)n.cos((n₂^−k)

^θ

^).d

^θ

^.

Exercice 3 : Polynômes de Tchebychev.

1) Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un unique polynôme réel T_n vérifiant (∀θ) cos(nθ) = T_n(cosθ). Formule de récurrence liant T_n+2 , T_n+1 et T_n ? Factoriser T_n(X).

2) Montrer que pour tout n ∈ N*, existe un unique polynôme réel U_n−1 vérifiant (∀θ) sin(nθ) = sin(θ).U_n−1(cosθ). Montrer que les Un vérifient la même relation de récurrence que les T_n, et exprimer les U_n en fonction des T_n. Factoriser U_n(X).

3) En déduire que les polynômes trigonométriques pairs sont les polynômes en cos θ et que les polynômes impairs sont de la forme sin θ.Q(cos θ), où Q est un polynôme.

Exercice 4 : interpolation de Lagrange trigonométrique.¹

On note PPPP_{n = Vect(e−n , …, e0 , …, en}). Les réels x₀, x₁, x₂, … sont dits distincts modulo 2π si leurs classes modulo 2π sont distinctes dans R/2πZ, i.e. si e^ix0, e^ix1, e^ix2, … sont distincts dans U.

1) Si x₀, x₁, …, x_2n sont distincts modulo 2π, et si y₀, y₁, …, y_2n sont des complexes quelconques, montrer : ∃!P ∈ PPPP_n ∀k ∈ { 0, 1, … , 2n } P(xk) = y_k .

2) Montrer que P est donné par : P(x) =

∑

≤

≤p n p pL x y

2 0

) (

. , où L_p(x) =

∏

_≠ ⁻₋

p

q p q

q

x x

x

x )

) 2 / ) sin((

) 2 / ) sin((

( .

3) a) Si x₀, x₁, …, x_n sont distincts dans [0, π], et si y₀, y₁, …, y_n sont des complexes quelconques, montrer qu’il existe un unique P ∈ PPPP_n pair tel que ∀k ∈ { 0, 1, … , n } P(xk) = y_k .

Il est donné par : P(x) =

∑

≤

≤p n p

pC x

y

0

) (

. , où C_p(x) =

∏

_≠ ⁻₋

p

q p q

q

x x

x

x )

cos cos

cos

(cos .

b) Si x₁, …, x_n sont distincts dans ]0, π[, et si y₁, …, y_n sont des complexes quelconques, montrer qu’il existe un unique P ∈ PPPP_n impair tel que ∀k ∈ {1, 2, … , n} P(x_k) = y_k .

Il est donné par : P(x) =

∑

≤

≤p n p pS x y

0

) (

. , où S_p(x) = xp

x sin

sin _.

∏

≠ −−

p

q p q

q

x x

x

x )

cos cos

cos

(cos .

1.2. Séries trigonométriques.

Définition 2 : Par série trigonométrique, on entend une série de fonctions de la forme

∑

^+∞

−∞

= n

nein

c. ^θ , à condition d’appeler « sommes partielles » de cette série les sommes partielles symétriques :

S_n(θ) =

∑

−

= n

n k

keik

c. ^θ .

En d’autres termes, on dit que la série converge en un point (resp. uniformément sur une partie A, resp. en moyenne quadratique sur [0, 2π]) si ses sommes partielles symétriques convergent en ce point (resp. uniformément sur A, resp. en moyenne quadratique sur [0, 2π]).

Avec ce point de vue,

∑

^+∞

−∞

= n

nein

c. ^θ désigne au fond, par pliage, la série c₀ +

∑

^+∞

=

− −

+

1

) . .

(

n

n in nein c e

c ^{θ θ} .

1 Zygmund (chap. X) étudie en grand détail ce sujet.

Remarque : Soit c_n = 1 si n > 0, 0 si n = 0, −1 si n < 0. La série

∑

^+∞

−∞

= n

cn est convergente, de somme nulle, au sens des sommes partielles symétriques, mais divergente si l’on considère les sommes partielles quelconques.

Définition 3 : Par série trigonométrique, on entend une série de fonctions de la forme :

2 a0

+

∑

^+∞

=

+

1

) sin(

. ) cos(

.

n

n

n n b n

a θ θ ^.

L’équivalence des deux points de vue est manifeste, car, avec les formules : (∀n ∈ N) a_n = c_n + c_−n , (∀n ∈ N*) b_n = i (c_n− c_−n) c₀ =

2 a0

et (∀n ∈ N*) c_n = 2 1_(a

n − i.b_n) et c_−n = 2 1_(a

n + i.b_n) .

les sommes partielles de la seconde série sont les sommes partielles symétriques de la première.

Notons que si a_n et b_n sont réels, on peut écrire a_n.cos(nθ) + b_n.sin(nθ) = r_n.cos(nθ−ϕn), où : r_n = an²+bn² est l’intensité, et ϕn le déphasage.

2. Propriétés des séries trigonométriques.

La théorie des séries trigonométriques est immense : le livre de A. Zygmund fait 700 pages, et l’article de Jean-Pierre Kahane dans l’Encyclopedia universalis sur ce sujet est fort long.

Contentons-nous ici d’en donner le point de départ.

Dans les énoncés suivants, nous considérons une ST mise sous l’une des formes :

∑

∈Z n

cn.e^inθ = 2 a0

+

∑

^+∞

=

+

1

) sin(

. ) cos(

.

n

n

n n b n

a θ θ ^.

Proposition 1 : Le domaine de convergence simple² d’une série trigonométrique est un FFFF_{σδ (et a} fortiori un ensemble borélien) de R, stable par les translations de 2kπ, k ∈ Z.

Preuve : Le second point est évident. Quant au premier, il découle d’une propriété tout à fait générale des limites simples de suites de fonctions continues, déjà citée dans le chapitre sur ce sujet :

Exercice 1 : Si AAAAest un ensemble de parties de E, on note AAAA

σ, resp.AAAA

δ, l’ensemble des parties de E qui s’écrivent comme réunion, resp. intersection, d’une suite de parties de AAAA. On note GGGG_{, resp} FFFF_, l’ensemble des ouverts, resp. des fermés, de l’espace métrique (E, d). Soit (f_n) une suite de fonctions continues E → R. Montrer que le domaine de convergence simple S de la suite (fn) est un FFFF

σδ.

[

Indication : Noter que S =

I

≥1 k

U

≥1 n

I

n q p, ≥

{

x ∈ E ; | fp(x) − fq(x) | ≤ k 1

}

.

]

Proposition 2 : Si une série trigonométrique converge uniformément sur R, sa somme f(θ) est une fonction continue 2π-périodique sur R, et les coefficients de la série sont données par les formules : (∀n ∈ Z) c_n = ²¹

π ∫

_(2π) f(θ).e^−inθ.dθ

(∀k ∈ N) a_k =

π

¹

∫

_(2π) f(θ).cos(kθ).dθ et (∀k ∈ N*) b_k =

π

¹

∫

_(2π) f(θ).sin(kθ).dθ

2 L’étude du domaine de définition et de l’ensemble des points de continuité des séries trigonométriques fut le point de départ des travaux de Georg Cantor (1845-1918), qui s’intéressa à ce sujet sur les conseils de son aîné Eduard Heine, et, suivant la pente abstraite de son esprit, se tourna vers les parties de R les plus générales, leurs propriétés ensemblistes et topologiques.

Autrement dit, en anticipant légèrement, les coefficients sont les coefficients de Fourier de la fonction f. Cela implique qu’ils sont uniquement liés à la somme f. En résumé, une série trigono- métrique uniformément convergente est la série de Fourier de sa somme.

Preuve : Les formules précédentes découlent de ce que l’interversion

∫

∑ ₌ ∑

∫

est licite, et des relations d’orthogonalité énoncées en § 1.1.

Remarque 1 : En vertu du théorème de convergence dominée, la prop. 2 reste vraie si la série converge simplement sur R vers une fonction réglée, et si ses sommes partielles sont uniformément majorées.

Remarque 2 : Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) La série trigonométrique converge normalement sur R ; ii)

∑

_n∈Z |c_n| < + ∞ ;

iii)

∑

_n∈N |a_n| < + ∞ et

∑

_n∈N* |b_n| < + ∞ ;

Si ces conditions sont remplies, la prop 2 s’applique ; de plus, la somme f(θ) est aussi limite des sommes partielles dissymétriques

∑

≤

≤

−m k n ik ke

c. ^θ , lorsque m et n tendent vers +∞ indépendamment.

La proposition 3 établit un lien direct entre le comportement à l’infini des coefficients c_n, a_n et b_n, et la régularité de la somme : plus les coefficients tendent vite vers 0, plus la somme est régulière. Du coup, si l’on veut obtenir des séries trigonométriques pathologiques, il suffit de considérer des séries dont les coefficients tendent lentement vers 0, ou des séries lacunaires. Le théorème 4 montre que si les coefficients trigonométriques tendent vers 0 en décroissant, il y a encore convergence.

Proposition 3 : Soit p ≥ 2. Si c_n = O( _p n

1 _{) quand n → ±∞}, ou, ce qui est équivalent, a_n et b_n sont O( _p

n

1 ) quand n → ±∞, alors f est de classe C^p−2 sur R.

Corollaire : Si la suite (c_n) est à décroissance rapide, c’est-à-dire c_n = O( _p

n1 ) quand n →±∞, pour tout p ∈ N, alors f est de classe C^∞.

Preuve : Récurrence sur p fondée sur le théorème de dérivation terme à terme des séries.

Insistons sur le fait que le théorème suivant est hors programme : à l’écrit, vous n’aurez jamais à faire une transformation d’Abel sans indication.

Exercice 2 : Si ∃C, λ > 0 ∀n ∈ Z |c_n| ≤ C.exp(−λ|n|), montrer que f(θ) est développable en série entière en 0 et en tout point de R.

Théorème 4 (Abel) : i) Si (a_n) ↓ 0, la série 2 a0

+

∑

^+∞

=1

) cos(

.

n

n n

a θ converge simplement sur R−2πZ, et uniformément sur tout segment ⊂ R−2πZ.

ii) Si (b_n) ↓0, la série

∑

^+∞

=1

) sin(

.

n

n n

b θ converge simplement sur R, et uniformément sur tout segment

⊂ R−2πZ.

Preuve : Elle repose sur la transformation d’Abel, qui accélère la convergence, de même qu’une intégration par parties rend manifeste la semi-convergence d’une intégrale impropre en la ramenant à une absolue convergence. Notons V_n = 1 + e^ix + e^i2x + … + e^inx = e^inx/2.

) 2 / sin(

) 2 / ) 1 sin(

x n+ x

= C_n + i.S_n . Il vient :

∑

= n

k

k k

a

1

) cos(

. θ ⁼

∑

= − −

n

k

k k

k C C

a

1

1)

.( =

∑

= n

k k kC a

1

. ₋

∑

= −

n

k k kC a

1

. 1

=

∑

= n

k k kC a

1

. ₋

∑

⁻

= +

1

0 1.

n

k

k

k C

a = a_n.C_n− a₁.C₀ +

∑

= − +

n

k

k k

k a C

a

1

1).

( .

Or (C_n) est bornée, (a_n) tend vers 0, donc (a_n.C_n) → 0, et

∑

= − +

n

k

k k

k a C

a

1

1).

( est la somme partielle d’une série absolument convergente. De plus, si l’on se place sur un segment J ⊂ R−2πZ, (Cn) est uniformément bornée, et

∑

= − +

n

k

k k

k a C

a

1

1).

( est somme partielle d’une série normalement convergente.

Idem pour la série en sinus.

Exercice 3 : Montrer que le théorème 4 subsiste sous les hypothèses plus générales : (a_n) → 0 et

∑

k≥0 | a_k+1− a_k | < + ∞ , resp. (b_n) → 0 et

∑

k≥0 | b_k+1− b_k | < + ∞ . 3. Exemples de séries trigonométriques.

Exemple 1 : Séries entières et séries trigonométriques.

Les séries entières fournissent à foison des séries trigonométriques : si la série entière f(z) = ⁿ

n nz a .

0

∑

^+∞

=

a un rayon de convergence R > 0, chacune des séries trigonométriques f(r.e^iθ) = ^{n inθ}

n

nr e a. .

0

∑

^+∞

=

est normalement convergente, donc est la série de Fourier de sa somme.

On en déduit l’expression intégrale des coefficients : (∀n ∈ N) (∀r ∈ ]0, R[) a_n = _n

π

r 21

∫

(2π) f(r.e^iθ).e^−inθ.dθ . et aussi (∀n < 0) 0 = _n

π

r 21

∫

(2π) f(r.e^iθ).e^−inθ.dθ .

On notera que les seconds membres sont indépendants de r… puisque constants !

Enfin, si R est fini, l’étude de f sur le cercle d’incertitude |z| = R équivaut à celle de la série trigonométrique ^{n inθ}

n

nR e a. .

0

∑

^+∞

=

. Elle est parfois difficile.

Exemple 2 : Série et noyau de Poisson.

Soit r ∈ [0, 1[. Les séries trigonométriques suivantes sont normalement convergentes, et de sommes :

∑

^+∞

−∞

= n

rn e^inθ= 1 + 2

∑

^+∞

=1

) cos(

.

n

n n

r θ ⁼

² cos 2 1

² 1

r r

r +

− −

θ

^et

∑

^+∞

=1

) sin(

.

n

n n

r θ ⁼

² cos 2 1

sin .

r r

r +

−

θ θ

_.

Exemple 3 : La série d’Euler-Abel

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

nθ (1744-1825) ³.

1) Montrer que cette série converge simplement sur R. Soit f(θ) sa somme.

2) Pour 0 < r < 1, on pose F_n(r, θ) =

∑

=

− n

k

k k

r

1

1.sin( θ). Calculer F_n(r, θ), et montrer que : F_n(r, θ) =

² cos 2 1

sin r

r +

−

θ θ

_{+ R}

n(r, θ) , où Rn est une fraction rationnelle de r à préciser.

3) Soit A_n(θ) =

∑

= n

k k

k

1

)

sin( θ . Vérifier que A_n(θ) =

∫

₀¹_1−2r^sin_cos

^θ _θ

_+r²^{.dr +}

∫

₀^1Rn(r,

^θ

^).dr.

3 Euler indiqua la somme de cette série, dans une lettre à Goldbach (1744). Abel nota en 1825 qu’elle donnait un exemple de suite simplement convergente de fonctions continues ayant une somme discontinue.

4) Calculer la première intégrale. Montrer que pour tout θ∈ ]0, π[,

∫

₀^1Rn(r,

^θ

^{).dr →} 0 , la conver- gence étant uniforme sur tout [α, π−α], (0 < α < π) . En déduire f(θ) (cf aussi § 5.2)

Exemple 4 : la série de Fatou

∑

^+∞

=2 ln ) sin(

n n

nθ _(1906).

1) Montrer que cette série converge sur R ; domaines de convergence uniforme ?

2) Par des transformations d’Abel répétées, montrer que la somme de cette série est C¹ sur ]0, 2π[.

3) Représenter graphiquement les premières sommes partielles. Qu’observe-t-on ? ⁴ Exemple 5 : La série de Riemann-Gerver

∑

^+∞

=1 ²

)

² sin(

n n

nθ (1861, 1970).

Etudier la convergence de cette série. Représenter son graphe à différentes échelles.⁵ Exercice : Soient (b_mn)_m,n≥1 une suite double telle que

∑∑

^+∞

= +∞

= 1 1

m n

bmn < +∞ , T₁ et T₂ deux réels > 0.

Montrer que f(x, y) =

2

1 1 1

sin . sin

. T

y n T

x b m

m n

mn π π

∑∑

^+∞

= +∞

=

est définie, continue sur R², et vérifie f(x + T₁, y) = f(x, y + T₂) = f(x, y) , f(−x, y) = f(x, −y) = −f(x, y).

et b_mn =

2 1

4 T

T

∫∫

_{[0, ]×[0, ]}

2

2 1

1

. sin . sin ).

,

T (

T dxdy

T y n T

x y m

x

f π π _.

____________

B. Séries de Fourier

1. Définitions, premières propriétés.

Notations :RRRR_2π(R, C) désigne l’espace des fonctions réglées 2π-périodiques R → C ; CCCC_2π(R, C) désigne l’espace des fonctions continues 2π-périodiques R → C.

Ces espaces sont munis :

− d’une part de la norme uniforme || f ||_∞ = sup_x∈R | f(x) | pour laquelle ils sont tous deux complets.

− d’autre part de la forme hermitienne positive ( f | g ) =²¹

π ∫

(2π) ^f(θ)^.g(θ).dθ et de la semi-norme associée || f ||₂ = ( ff ). Ils induisent resp. un produit scalaire et une norme sur CCCC_2π(R, C). Aucun des deux espaces n’est complet pour cette norme. La convergence pour cette semi-norme est appelée convergence en moyenne quadratique.

Rappelons que la convergence uniforme implique la convergence en moyenne quadratique, mais que la convergence en moyenne quadratique n’implique même pas la convergence simple.

Exercice 1 : Construire une suite de fonctions continues 2π-périodiques convergeant en moyenne quadratique vers 0, mais ne convergeant simplement en aucun point de R.

4 On peut montrer que la somme de cette série n’est ni bornée, ni intégrable-Riemann au sens généralisé, ni intégrable-Lebesgue sur [0, 2π], et qu’enfin la série de Fatou n’est pas la série de Fourier de sa somme.

5En 1861, Riemann déclara en cours que la somme de cette série trigonométrique lacunaire n’était nulle part dérivable. Weierstrass tenta sans succès de le démontrer, mais découvrit une classe de séries trigonométriques possédant cette propriété. En 1916, Hardy montra la non-différentiabilité de la fonction de Riemann en certains points. En 1970 enfin, à la surprise générale, un étudiant américain, J. Gerver, montra que cette fonction était dérivable en les πp/q, avec p et q impairs, et non dérivable ailleurs (cf. D. Choimet et H.

Queffélec, Grands théorèmes du XXème siècle, C&M, chap. VII).

Exercice 2 : 1) Construire une bijection naturelle de CCCC_2π(R, C) sur CCCC(U, C), où U = {z ∈ C ; |z| = 1 }.

2) Montrer que les caractères du groupe compact U, c’est-à-dire les morphismes continus de groupe multiplicatif de U dans C*, sont les fonctions e_n : θ→ e^inθ, où n décrit Z.

Définition : Soit f ∈RRRR_2π(R, C). On appelle :

−−−− série de Fourier exponentielle de f la série trigonométrique

∑

_n∈Z c_n(f).e^inθ , où : (∀n ∈ Z) cn(f) = ²¹

π ∫

(2π) f(θ).e^−inθ.dθ (coefficients de Fourier exponentiels de f).

− série de Fourier trigonométriquede fla série trigonométrique :

2 )

0(f

a +

∑

^+∞

= +

1

) sin(

).

( ) cos(

).

(

n

n

n f n b f n

a θ θ ^{, où :}

(∀n ∈ N) a_n(f) =

π

¹

∫

(2π) f(θ).cos(nθ).dθ et (∀n ∈ N*) b_n(f) =

π

¹

∫

(2π) f(θ).sin(nθ).dθ . Les a_n(f) et b_n(f) sont les coefficients de Fourier trigonométriques de f.

On a les relations (∀n ∈ N) a_n(f) = c_n(f) + c_−n(f) , (∀n ∈ N*) b_n(f) = i ( c_n(f) − c_−n(f) ) c₀(f) =

2 )

0(f

a , (∀n ∈ N*) c_n(f) = 2 1_{( a}

n(f) − i.b_n(f) ) et c_−n(f) = 2 1_{( a}

n(f) + i.b_n(f) )

On observera que f ne peut admettre de série de Fourier que si elle est intégrable sur tout segment de R. Le fait que nous l’ayons supposée réglée assure cette intégrabilité ; on aurait aussi pu supposer f Riemann-intégrable, ou Lebesgue-intégrable.⁶

La théorie des séries de Fourier a pour but de répondre à cette question : quels liens f entretient-elle avec sa série de Fourier ? En particulier, cette série converge-t-elle vers f en moyenne quadratique ? simplement ? uniformément ? Si ces questions sont simples, les réponses, elles, ne le sont guère.

Pour l’instant, nous noterons suivant l’usage de Zygmund : f(θ) ∼

∑

∈Z n

n f

c )( e^inθ , resp. f(θ) ∼ 2

)

0(f

a +

∑

^+∞

=

+

1

) sin(

).

( ) cos(

).

(

n

n

n f n b f n

a θ θ ^,

où le symbole ∼ signifie ici : « a pour série de Fourier ».

Premières propriétés de cette correspondance formelle :

1) Un polynôme trigonométrique est son propre développement en série de Fourier.

2) Linéarité : la série de Fourier d’une combinaison linéaire est comblin. des séries de Fourier.

3) Si f est à valeurs réelles, alors les a_n(f) et b_n(f) sont réels, et c_n(f) = c−n(f) pour tout n.

4) Si f est paire, alors a_n(f) ≡

π

²

∫

₀^πf(

^θ

^).cos(n

^θ

^).d

^θ

^{et bn(f) ≡ 0 ;}

Si f est impaire, alors a_n(f) ≡ 0 et bn(f) ≡

π

²

∫

₀^πf(

^θ

^).sin(n

^θ

^).d

^θ

^.

5) Pour tout p ∈ Z, f(pθ) ∼

∑

∈Z n

n f

c )( .e^inpθ et e^ipθ.f(θ) ∼

∑

∈Z n

n f

c )( .e^i(p+n)θ. 6) Translation : pour tout a ∈ R, f(θ + a) ∼

∑

∈Z n

n f

c )( .e^ina.e^inθ 7) Dérivation : si f est C¹, alors f’(θ) ∼

∑

∈Z n

n f c

in. ().e^inθ ,

6 Ce n’est pas un hasard si Riemann a défini son intégrale dans son mémoire consacré aux séries trigono- métriques. Ces séries ont joué un rôle constitutif dans la théorie de l’intégration, car elles ont souvent pour sommes des fonctions discontinues, susceptibles ou non d’intégration.

autrement dit, la série de Fourier de f’ est la dérivée terme à terme de la série de Fourier de f.

Exercice 3 : Exprimer à l’aide de celle de f la série de Fourier de F(x) =

∫

₀^{xf(t).dt− c0(f).x.}

A quelle condition x →

∫

₀^{xf(t).dtest-elle 2π}-périodique ? Conséquence et remarques ? Exercice 4 : Exprimer à l’aide de celle de f la série de Fourier de g(x) =

n 1

∑

⁻

=¹ +

0

2 ) (

n

k n

k n

f x π _. Exercice 5 : Soit h > 0. Exprimer à l’aide de celle de f la série de Fourier de f_h(x) =

h 2

1

∫

_x^x₋⁺_h^{hf ).(t dt.}

2. Convergence en moyenne quadratique, formule de Parseval.

Proposition 1 : La somme partielle d’ordre n de la série de Fourier de f ∈ RRRR_{2π(R, C) :} S_n(f)(θ) =

∑

−

= n

n k

k f eik

c (). ^θ = 2

)

0(f

a +

∑

= n

k k f a

1

).

( cos(kθ) + bk(f).sin(kθ) est l’orthoprojection de f sur l’espace PPPP_{n = Vect(e−n , …, e0 , …, en).}

Corollaire : Pour toute f ∈ RRRR_2π(R, C), on a l’inégalité dite de Bessel ⁷ :

∑

∈Z n

| c_n(f) |² = 4 1_|a

0(f)|² + 2

1

∑

∈N* n

|a_n(f)|² + |b_n(f)|² ≤ ( f | f ) = ²¹

π ∫

(2π) |f(θ)|².dθ

Preuve : Nous sommes dans le cadre du théorème de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie séparé (chap. Espaces préhilbertiens, § 4.1). La prop. 1 est alors immédiate. Le théorème de Pythagore donne :

f ²_{2 −} ² )2

(f

Sn = ²

)2

(f S

f− n , ce qui implique : f ²₂−

∑

−

= n

n k

n f

c()² ≥ 0.

La suite n →

∑

−

= n

n k

n f

c()²est croissante majorée par f ²₂, donc la famille (c_n(f)) est de carré sommable et l’inégalité de Bessel est immédiate.

Théorème 2 : Pour toute f ∈ RRRR_{2π(R, C) :}

i) La série de Fourier de f converge en moyenne quadratique vers f, en ce sens que || S_n(f) − f ||2 → 0.

ii) L’inégalité de Bessel est en fait une égalité, l’identité dite de Parseval (Fatou, 1906) :

∑

∈Z n

| c_n(f) |² = 4 1_|a

0(f)|² + 2

1

∑

≥1 n

| a_n(f) |² + | b_n(f) |² = ( f | f ) = ²¹

π ∫

_(2π) | f(θ) |².dθ Preuve : l’équivalence de i) et ii) découle de la preuve de la prop 1. Tout revient à montrer 1).

1^ère étape : PPPP est dense dans CCCC_{2π(R, C).}

Cette densité découle du théorème de Weierstrass trigonométrique, et des liens entre les normes || f ||_∞ et || f ||₂. Le théorème de Weierstrass trigonométrique affirme que :

7 L’astronome berlinois Friedrich Wilhelm BESSEL (1784-1846) étudia les fonctions qui portent son nom. Il publia l’inégalité ci-dessus dans un mémoire de 1828 sur les phénomènes périodiques, où il utilise le développement en série de Fourier sans référence à sa démonstration ou aux problèmes de convergence (dixit Godement).

∀f ∈ CCCC_2π(R, C) ∀ε > 0 ∃P ∈ PP PP || f − P ||_∞ ≤ ε.

Soit n₀ tel que P ∈PPPP_n0 . Alors, pour n ≥ n₀, on a

|| f − S_n( f ) ||₂≤ || f − S_n0( f ) ||₂≤ || f − P ||₂≤ || f − P ||_∞≤ε. 2^ème étape : CCCC_2π(R, C) est dense dans RRRR_2π(R, C) pour la semi-norme || f ||₂. Cela signifie que : ∀g ∈RRRR_{2π(R, C) ∀ε > 0 ∃f ∈}CCCC_2π(R, C) || g − f ||₂≤ε.

Cela se montre par étapes, d’abord pour les fonctions caractéristiques d’intervalles périodiques, puis pour les fonctions en escaliers périodiques, et enfin pour les fonctions réglées périodiques. Alors || g − Sn(g) ||₂ ≤ || g − f ||2 + || f − Sn(f) ||₂ + || S_n(f) − Sn(g) ||₂ ≤ 2ε + || f − Sn(f) ||₂ ≤ 3ε àpcr.

Conséquences :

1) Pour toute f ∈ RRRR_2π(R, C), la suite (c_n(f))_n∈Z est de carré sommable, et l’application FFFF _{: f →} (c_n(f))_n∈Z de RRRR_2π(R, C), dans l²(Z, C) est linéaire et est un morphisme d’espaces préhilbertiens, en ce sens que : ∀ f, g ∈RRRR_2π(R, C) ( f | g ) = (F_{(f) |} F_{(g)) =}

∑

_n∈Z cn(f).c_n(g).

Cette formule se déduit de Parseval via l’identité de polarisation (chap. Esp. préhilbertiens § 1.1).

2) En particulier c_n(f) → 0 quand n → ±∞, an(f) et b_n(f) → 0 quand n → +∞ . A noter que ce résultat découle aussi du lemme de Riemann-Lebesgue.

3) Si deux fonctions f, g ∈CCCC_2π(R, C) ont mêmes coefficients de Fourier, elles sont égales.

Ainsi, l’application FFFF _{: f → (cn(f))n∈Z de} CCCC_2π(R, C) dans l²(Z, C) est un morphisme injectif d’espaces préhilbertiens.

(Si f et g sont réglées, il n’en est plus de même : deux fonctions réglées périodiques qui diffèrent en un nombre fini ou dénombrable de points modulo 2π, ont mêmes coefficients de Fourier).

4) Soit f ∈CCCC_2π(R, C). Pour que f soit un polynôme trigonométrique, il faut et il suffit que la famille (c_n(f))_n∈Z de ses coefficients de Fourier soit à support fini.

Exercice : Comment se traduit sur les coefficients de Fourier exponentiels, resp. trigonométriques, le fait que f soit π-antipériodique, c’est-à-dire que f(x + π) + f(x) = 0 pour tout x ?

Extensions.

1) Le théorème 2 reste vrai pour les fonctions Riemann-intégrables 2π-périodiques.

2) Il reste aussi vrai pour les fonctions f 2π-périodiques telles que, pour un ensemble fini E ⊂ [0, 2π], f|[0,2π]−E soit réglée ou Riemann-intégrable, et que f soit de carré intégrable sur [0, 2π].Mais alors les coefficients de Fourier se présentent comme des intégrales impropres. Cela peut être établi en exercice.

Interprétation physique de l’identité de Parseval.

Si f représente une onde ou une vibration (la variable t est le temps), la formule de Parseval exprime que l’énergie totale de la vibration sur une période est la somme des énergies de ses composantes harmoniques c_n(f).e^inθ (Lord Rayleigh, 1889).

Interprétation mathématique de l’identité de Parseval ⁸.

8 Marc Antoine PARSEVAL DES CHËNES (1755-1836) fut emprisonné comme royaliste en 1792, et dut son salut à Legendre. Plus tard, il dut fuir la France pour avoir publié un poème contre l’Empire. Sa laideur l’avait fait surnommer le « cochon savant » par ses très-aimables collègues de l’Académie. Il a seulement cinq

L’identité de Parseval signifie que la famille orthonormale (e_n)_n∈Z est totale dans les espaces préhilbertiens RRRR_{2π(R, C) et} CCCC_2π(R, C). Généralisons-la afin de mieux comprendre la situation : Soit E un espace préhilbertien, séparé ou non, BBBB _{= (ei)i∈I} une famille orthonormale indexée par I.

On suppose que le sous-espace vectoriel PPPP engendré par les e_i est séparé. Pour toute partie finie J ⊂ I, notons PPPP_{J = Vect(ei)i∈J} ; c’est un sous-espace de dimension card J.

Pour tout x ∈ E, on appelle i-ème coefficient de Fourier de x par rapport à BBBB _{: ci(x) = (ei | x).}

Proposition : Pour tout x ∈ E, la famille x = (c_i(x))_i∈I est de carré sommable, et vérifie : ||x||² =

∑

_i∈I | c_i(x) |²≤ ||x||² (inégalité dite de Bessel).

Il en résulte que pour tout x ∈ E, la famille x = (c_i(x))_i∈I est à support fini ou dénombrable.

Preuve : Les hypothèses du théorème d’orthoprojection sur un sous-espace de dimension finie séparé sont remplies (cf. chap Espaces préhilbertiens, § 4.1)

Le vecteur x admet pour orthoprojection sur PPPP_{J : SJ(x) =}

∑

_{i∈J ci(x).ei .}

Par Pythagore : d(x, PPPP_J)² _{= ||x||}²₋

∑

_i∈J | c_i(x) |²≥ 0. La proposition en découle aussitôt.

Plus précisément, je dis que : ||x||²− ||x||² = d(x, PPPP₎²_. En effet, par associativité des bornes inférieures :

d(x,PPPP)² = d(x, ∪JPPPP_J)² = inf_Jd(x,PPPP_J)² = inf_J ||x||² −

∑

_i∈J | c_i(x) |² = ||x||² − sup_J

∑

_{i∈J | ci(x) |}² _{= ||x||}² _{− ||x||}² _.

Grâce à cela, on peut établir le :

Théorème : Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) La famille orthonormale BBBB _{= (ei)i∈I} est totale dans E ;

ii) Pour tout x ∈ E, on a ||x||² =

∑

_i∈I | c_i(x) |²≤ ||x||² (formule dite de Parseval) ; iii) Pour tout x ∈ E, la famille ((ei | x).e_i)_i∈I est sommable de somme x : x =

∑

_{i∈I ci(x).ei ;}

iv) Pour tout (x, y) ∈ E², l’on a (x | y) =

∑

_i∈I ci(x).c_i(y), cette famille étant sommable.

Corollaire : Si E est préhilbertien séparé et BBBB _{= (ei)i∈I} une famille orthonormale totale, l’application F

F F

F_{: x →} (c_i(x))_i∈Ide E dans l²(I, K)est un morphisme injectif d’espaces préhilbertiens.

Exercice 2 : Montrer que l²(I, K) admet une famille orthonormale totale.

Exercice 3 : Montrer que les polynômes de Legendre Πn(x) = n+1/2.P_n(x) , qui forment une base de R[x] orthonormalisée de la base canonique (1, x, x², … ), forment une famille totale dans l’espace C([−1, 1], R) pour le produit scalaire ( f | g ) =

∫

₋¹₁^f(x).g(x).dx. En déduire une formule de

« Parseval-Legendre ».

publications à son actif, la seconde contenant, sans démonstration, le fameux théorème relatif aux séries trigonométriques. Ce résultat, énoncé en 1805 à l’issue d’un simple calcul formel, fut utilisé par Lacroix et Poisson, et devait jouer un rôle important dans la théorie des séries de Fourier. En réalité, la formule dite « de Parseval » relative aux séries trigonométriques ne trouva son cadre naturel, lorsque f est de carré intégrable, qu’avec la thèse de Fatou de 1906. Celui-ci en attribua la paternité à Parseval, à cause de son mémoire publié en 1805-06, à une époque où personne ne pouvait avoir la moindre idée de la démonstration de la totalité d’un système trigonométrique.