Universit´e Paris 7–Denis-Diderot Ann´ee 2002–2003 MT 241 PROBL`EME no 1
I Montrer que la s´erie de terme g´en´eral
an = n2+ 9n+ 5
(n+ 1)(2n+ 3)(2n+ 5)(n+ 4) est convergente et calculer sa somme.
II
Etudier, suivant les valeurs de´ α ∈R, la convergence de la s´erie de terme g´en´eral bn = (−1)n
nα+ (−1)n. III
1) La s´erie P
cn ´etant suppos´ee absolument convergente, montrer que la s´erie P c2n est convergente.
2) L’affirmation pr´ec´edente reste-t-elle valide lorsqu’on suppose seulement que la s´erie Pcn est convergente ?
IV
On se propose de calculer la somme de la s´erie de terme g´en´eral dn= 1− 1
2 + 1
3 +· · ·+ (−1)n+1
n − ln(2), pour n≥1.
1) Montrer que pour tout t 6=−1, on a 1
1 +t = (−t)n 1 +t +
n−1X
k=0
(−t)k. En d´eduire que
dn = (−1)n+1 Z 1
0
tn 1 +tdt.
2) On pose Sn =Pn
k=1 dk. Montrer que Sn=
Z 1
0
t
(1 +t)2 dt + (−1)n+1 Z 1
0
tn+1 (1 +t)2 dt o`u
limn (−1)n+1 Z 1
0
tn+1
(1 +t)2 dt= 0.
3) Montrer que la s´erie P
dn est convergente et calculer sa somme.
4) Cette s´erie est-elle absolument convergente ?
