1) Montrer que la s´erie {un}n≥1 est convergente

UNIVERSIT´E PARIS 6 LM260. 2010-2011 Partiel de Math´ematiques du 4 Novembre 2010

Dur´ee : 2h30

Les documents ne sont pas autoris´es. Les exercices sont ind´ependants.

Exercice 1 (5 points)

Etudier, en discutant suivant la valeur du nombre r´eel´ α > 0, la conver- gence des s´eries {un}n≥1 de terme g´en´eral, respectivement :

un = ln(−1)ⁿ

n^α ; un = e^−nα; un = 1− 1 n

n^α

.

Exercice 2 (5 points)

Soit (un)n≥1 une suite de nombres r´eels telle queun∼1/n² quandn tend vers +∞. On note Sn=Pn

k=1uk.

1) Montrer que la s´erie {un}n≥1 est convergente. On note S sa somme.

2) ´Etant donn´e >0, montrer qu’il existe N ∈ IN tel que :

∀n∈IN, n ≥N ⇒ (1−) Z +∞

n+1

dt

t² ≤S−Sn ≤(1 +) Z +∞

n

dt t². 3) En d´eduire que la suite (n(S−Sn))_n≥1 converge. Quelle est sa limite ?

Exercice 3 (5 points)

Soitf ∈C¹([0,+∞[) une fonction r´eelle d´ecroissante avecf(x)−−−−→

x→+∞ 0.

1) Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞

0 f⁰(t)dtest absolument conver- gente. Quelle est sa valeur ?

2) Montrer, sans utiliser le th´eor`eme d’Abel, que l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞

0 (cost)f(t)dt est convergente.

Indication : faire une int´egration par parties sur un segment [0, x].

3) Montrer qu’il existe c >0 tel qu’on ait :

∀n ∈IN,

Z (n+1)π

nπ

|cost|f(t)dt≥cf((n+ 1)π).

1

2

En d´eduire que l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞

0 (cost)f(t)dt est absolument convergente si et seulement si l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞

0 f(t)dt est convergente.

Exercice 4 (5 points)

A tout entier` n ≥1, on associe la fonction fn: [0,+∞[→IR d´efinie par x≥0, fn(x) = 1 + x

n n

.

1) Montrer que la suite (fn)n≥1 converge simplement sur [0,+∞[. On note f : [0,+∞[→IR sa limite.

2) Pour tout n ∈IN^∗, calculer sup_t∈[0,+∞[|fn(t)−f(t)|.

La suite (fn)n≥1 est-elle uniform´ement convergente sur [0,+∞[ ? 3) Pour tout n ≥1 et x≥0, on posegn(x) =x−nln(1 +x/n).

Montrer que la fonction gn est positive et croissante sur [0,+∞[.

Calculer, pour R >0 donn´e, le nombre sup_x∈[0,R]gn(x).

4) Montrer que la suite (fn)n≥1 converge uniform´ement sur tout segment [0, R]⊂[0,+∞[.

Exercice 5 (5 points)

A tout nombre r´eel` x≥0, on associe l’int´egrale g´en´eralis´ee

(1) F(x) =

Z +∞

0

e^−xt2 1 +t² dt.

1) Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee (1) converge quel que soit x≥0.

2) Soit T >0 un nombre r´eel donn´e. En d´ecomposant l’int´egrale (1) en F(x) =

Z T

0

e^−xt2 1 +t² dt+

Z +∞

T

e^−xt2 1 +t² dt, d´emontrer que, pour tout x, y ∈[0,+∞[, on a l’in´egalit´e :

|F(y)−F(x)| ≤T(e^|x−y|T2 −1) + 2 Z +∞

T

dt 1 +t². 3) En d´eduire que la fonction F est continue sur [0,+∞[.