Montrer que la s´erie de fonctions ∞ X n=1 sinnx n√ n est continue sur IR

Universit´es Lyon 1 et Lyon 2 L2 - MASS 32

Compl´ements d’Analyse 2008-2009

Contrˆole continu final Lundi 12 Janvier 2009

Dur´ee : 2 heures

Les documents et les calculatrices sont interdits

Exercice 1.

1) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral u_n= lnn

n² est convergente.

2) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral v_n = 2ⁿ

n² sin²ⁿα avec α∈[0,^π₄] est convergente.

3) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral w_n = (−1)ⁿsin

√n+1

n n’est pas absolument con- vergente.

Exercice 2. Montrer que la s´erie de fonctions

∞

X

n=1

sinnx n√

n est continue sur IR.

Exercice 3.

1) Montrer que la s´erie de fonctions

∞

X

n=1

n²e⁻ⁿcosn²x converge normalement sur IR.

2) Montrer que la s´erie de fonctions

∞

X

n=0

e⁻ⁿsinn²x est d´erivable sur IR.

Exercice 4. Soit f(x) = arctan1−x² 1 +x². 1) Calculer f⁰(x).

2) D´evelopper g(x) := −2x

1 +x⁴ en s´erie enti`ere au voisinage de 0.

3) D´evelopper f(x) en s´erie enti`ere au voisinage de 0.

Exercice 5.

1) Trouver les s´eries enti`eres solutions de l’´equation diff´erentielle x²y⁰⁰+x²y⁰−2y= 0.

2) Calculer la somme des s´eries obtenues.