Universit´e Pierre-et-Marie Curie-Paris 06 LM 257 Examen 2012-2013
13 mai 2013
(Dur´ee 2 heures; sans document ni calculatrice)
Exercice I 1)EcrireI=
Z 1
0
e−t2dtsous la formeP+∞
n=0vno`uvnest le terme g´en´eral d’une s´erie num´erique convergente.
(Ecrire la fonctione−t2 comme somme d’une s´erie enti`ere et appliquer le th´eor`eme de Fubini) 2)Pour quel N minimum a-t-on|I−VN|<10−3o`uVN =PN
n=0vn. Exercice II
On consid`ere la s´erie de fonctions de terme g´en´eralun(x) = x
√n(x+n), d´efinie pour toutx∈R+ et pour n >0.
1)Montrer que cette s´erie converge simplement surR+. 2)Montrer que sup
x∈R
|un(x)|= 1
√n et en d´eduire que cette s´erie ne converge pas normalement sur R+. 3)Montrer que la sommesde cette s´erie est continue sur R+.
4)Montrer quesest d´erivable et croissante surR+.
5)Soitn≥1 etx0≥n. Montrers(x0)≥
n
X
k=1
1 2√
k. 6)En d´eduire que lim
x→+∞s(x) = +∞.
Exercice III
On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre (E): (1 +x2)f00(x) = 2f(x) avec les conditions initialess(0) = 0 ets0(0) = 1. On rappelle que cette ´equation diff´erentielle admet une solution unique.
1)Soitanxn le terme g´en´eral d’une s´erie enti`ere dont la somme est solution de (E). Montrer que pour tout n≥2,
(n+ 2)an+2=−(n−2)an. 2)En d´eduire quea4= 0, puis quea2p= 0 pour toutp≥2
3)En utilisant les conditions initiales, montrer quea2= 0 et que pour toutp≥0,a2p+1= (−1)p+1 (2p−1)(2p+ 1). 4) Montrer que la s´erie enti`ere de terme g´en´eral anxn est normalement convergente sur [−1,+1]. Quel est son rayon de convergence?
5) On pose, g(x) = s0(x)−1
x pour x ∈]−1,+1[, x 6= 0 etg(0) = 0. Ecrire g comme somme d’une s´erie enti`ere dont on calculera les coefficients. A partir de cette expression, d´eterminer g0 puis en d´eduire que g(x) = 1
1 +x2.
6)En d´eduire que la solution de (E) pour x∈]−1,+1[ est donn´ee par:
s(x) = 1
2(x2arctanx+ arctanx+x) Barˆeme: I 6, 6; II 5, 5, 5, 5, 5, 5; III 6, 6, 6, 6, 6, 6
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