Chapitre 3 – S´eries enti`eres
1 Somme d’une s´erie enti`ere
Une s´erie enti`ere est une s´erie de la forme : a
0+a
1z +a
2z
2+ · · · +a
nz
n+ · · · , avec z, a
0, a
1, a
2, . . . des nombres r´eels ou complexes. Les nombres a
0, a
1, a
2, . . . sont les coe ffi cients de la s´erie et z est la variable.
Quand z est complexe, S(z) =
∞
X
n=0
a
nz
nest une fonction complexe d’une variable complexe.
Les s´eries enti`eres g´en´eralisent donc les polyn ˆomes.
Le domaine de convergence est l’ensemble des z pour lesquels la s´erie enti`ere converge.
Lemme d’Abel
Soit α , 0. Si a
nα
nest born´e quand n tend vers l’infini, la s´erie enti`ere converge absolu- ment quel que soit z avec | z | < | α | .
D´emonstration
| a
nz
n| = | a
nα
n|
z α
n
| a
nα
n| 6 M ⇒ | a
nz
n| 6 M
z α
n
Si | z | < | α | la s´erie | a
nz
n| est major´ee par la s´erie g´eom´etrique de terme g´en´eral M
z α
n
qui converge. Donc la s´erie enti`ere est absolument convergente, donc convergente.
On arrive `a un domaine de taille maximale et 3 cas sont possibles : 1. La s´erie enti`ere converge pour tous les points
situ´es `a l’int´erieur d’un disque de rayon R plus
´eventuellement en des points plac´es sur le bord du disque.
R est le rayon de convergence de la s´erie et l’int´erieur du disque s’appelle le disque de convergence.
Exemple : 1 + z + z
2+ · · · + z
n+ · · · R = 1
1 i 0
R
2. La s´erie enti`ere converge uniquement lorsque z = 0 ; dans ce cas R = 0 et le disque de convergence est vide.
Exemple : 1 + 1! z + 2! z
2+ · · · + n ! z
n+ · · ·
1 i 0
3. La s´erie enti`ere converge dans tout le plan com- plexe. Alors R = ∞ et le disque de convergence est tout le plan complexe.
Exemple : 1 + z 1! + z
22! + · · · + z
nn ! + · · ·
1 i 0
Th´eor`eme 1
• | z | < R ⇒ la s´erie converge ⇒ lim
n→∞
| a
nz
n| = 0
• | z | > R ⇒ | a
nz
n| n’est pas born´e ⇒ la s´erie diverge.
Th´eor`eme 2
• La s´erie converge ⇒ | z | 6 R.
• La s´erie diverge ⇒ | z | > R.
Application de la r`egle de d’Alembert lim
n→∞
a
n+1a
n= L ⇒ R = 1 L avec 1
0 = ∞ et 1
∞ = 0
D´emonstration Soit u
n= | a
nz
n| alors lim
n→∞
u
n+1u
n= lim
n→∞
a
n+1z
n+1a
nz
n= lim
n→∞
a
n+1a
nz = Lz
L | z | < 1 ⇒ convergence et L | z | > 1 ⇒ divergence.
Application de la r`egle de Cauchy lim
n→∞
p
n| a
n| = L ⇒ R = 1 L Remarque 1 + z
2+ z
4+ z
6+ · · · + z
2n+ · · · n’a pas de a
n+1a
net pas de lim
n→∞
p
n| a
n| mais R = 1.
R = 1
lim sup
n→∞
p
n| a
n|
2 Op´erations sur les s´eries enti`eres
On part de deux s´eries enti`eres : S(z) =
∞
X
n=0
a
nz
n[R
1] T(z) =
∞
X
n=0
b
nz
n[R
2].
• Somme S(z) + T(z) =
∞
X
n=0
(a
n+ b
n) z
n[R
3> inf(R
1, R
2)]
• Produit S(z) T(z) =
∞
X
n=0
c
nz
nc
n= X
np=0
a
pb
n−p[R
4> inf(R
1, R
2)]
• Quotient b
0, 0 ⇒ S(z)
T(z) [R
5, 0]
On calcule les coefficients en faisant une division selon les puissances croissantes.
a
0+ a
1z + a
2z
2+ · · · 1 + b
1z + · · ·
a
0+ a
0b
1z + a
0b
2z
2+ · · · a
0(a
1− a
0b
1) z + (a
2− a
0b
2) z
2+ · · ·
• Compos´ee S(z) =
∞
X
n=0
a
nz
n[R
1, 0] T(z) =
∞
X
n=0
b
nz
n[R
2, 0]
b
0= 0 ⇒ S(T(z)) =
∞
X
n=0
a
nT(z)
n[R
6, 0]
Cas particulier T(z) = b z
r⇒ S(b z
r) =
∞
X
n=0
a
nb
nz
nrExemple
1 1 − b z
r=
∞
X
n=0
b
nz
nr= 1 + b z
r+ b
2z
2r+ · · ·
3 Propri´et´es des sommes de s´eries enti`eres
Th´eor`eme : S(z) =
∞
X
n=0
a
nz
nest continue, d´erivable et :
lim
h→0S(z + h) − S(z)
h =
∞
X
n=0
n a
nz
n−1=
∞
X
n=0
(n + 1) a
n+1z
n∞
X
n=0
a
nz
net
∞
X
n=0
(n + 1) a
n+1z
nont le mˆeme rayon de convergence.
Th´eor`eme : S(z) est ind´efiniment d´erivable et : S
(k)(z) =
∞
X
n=0
(n + 1)(n + 2) · · · (n + k) a
nz
n=
∞
X
n=0
(n + k)!
n! a
nz
nS
(k)(z) k! =
∞
X
n=0
(n + k)!
n! k! a
nz
n=
∞
X
n=0
C
kn+ka
nz
nS
(k)(0) k! = a
kExemple 1
1 − z = 1 + z + z
2+ · · · + z
n+ · · · 1
(1 − z)
2= 1 + 2z + 3z
2+ · · · + (n + 1)z
n+ · · · 1
(1 − z)
3= 1 + 3z + 6z
2+ · · · + (n + 1)(n + 2)
2 z
n+ · · · 1
(1 − z)
k= 1 + kz + · · · + (n + 1)(n + 2) · · · (n + k − 1)
(k − 1)! z
n+ · · ·
k > 2 Th´eor`eme C + a
0z + a
12 z
2+ · · · + a
n−1n z
n+ · · · avec C une constante quelconque, est
une primitive de S(z). Son rayon de convergence est le mˆeme que celui de S(z).
4 D´eveloppement en s´erie enti`ere
Soit f (z) une fonction complexe de la variable complexe z et soit z
0un nombre complexe.
On dit que f(z) est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de z
0quand il existe une s´erie enti`ere ayant un rayon de convergence non nul, telle que, quel que soit z dans le disque de convergence de la s´erie :
f (z
0+ z) =
∞
X
n=0
a
nz
nTh´eor`eme Si f(z) est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de z
0, elle est infiniment d´erivable dans un disque centr´e en z
0et :
f (z
0+ z) =
∞
X
n=0
f
(n)(z
0) k! z
nCette s´erie enti`ere s’appelle la s´erie de Taylor au point z
0.
Th´eor`eme Si f est une fonction complexe d’une variable complexe, il suffit qu’elle soit d´erivable 1 fois en tout point d’un disque ouvert pour qu’elle soit d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de tout point de ce disque.
Cons´equence La condition n´ecessaire et suffisante pour qu’une fonction complexe d’une variable complexe soit d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de tout point d’un disque est qu’elle soit d´erivable 1 fois en tout point de ce disque.
Une telle fonction s’appelle une fonction analytique.
Exemple f(z) = 1
1 − z ⇒ f
(n)(z
0)
n! = 1
(1 − z
0)
n+1∞
X
n=0
f
(n)(z
0) k! z
n=
∞
X
n=0
z
n(1 − z
0)
n+1= 1 (1 − z
0)
∞
X
n=0
z 1 − z
0 nQuand | z | < | 1 − z
0| la s´erie g´eom´etrique converge et la somme de la s´erie de Taylor est : 1
(1 − z
0)
1 1 − z
1 − z
0
= 1
(1 − z
0− z) = f (z
0+ z)
Donc, quel que soit z
0, 1, la fonction f (z) = 1 1 − z est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de z
0. Remarque : La condition | z | < | 1 − z
0| signifie que la s´erie de Taylor admet | 1 − z
0| pour rayon de conver- gence. La s´erie de Taylor repr´esente donc la fonction
`a l’int´erieur du cercle centr´e en z
0, qui passe par 1.
0 1z 1-z0
z0 z+z0
Th´eor`eme Soit f une fonction r´eelle, infiniment d´erivable dans un intervalle ouvert I .
Pour que f soit d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de x
0∈ I, il faut et il suffit qu’il
existe deux nombre A et B tels que | f
(n)(x) | < A B
nquel que soit n > 0 et quel que soit x dans
un intervalle ouvert centr´e en x
0.
On utilise les th´eor`emes pr´ec´edents pour fabriquer des fonctions complexes d’une va- riable complexe.
• On part d’une fonction r´eelle d’une variable r´eelle infiniment d´erivable.
• On calcule ses d´eriv´ees.
• On ´ecrit la s´erie de Taylor.
• On l’utilise pour d´efinir une fonction complexe d’une variable complexe.
e
z=
∞
X
n=0
z
nn! e
−z=
∞
X
n=0
( − 1)
nz
nn!
cos z =
∞
X
p=0
( − 1)
pz
2p(2p)! sin z =
∞
X
p=0
( − 1)
pz
2p+1(2p + 1)!
ln(1 − z) = −
∞
X
n=1
z
nn ln(1 + z) = −
∞
X
n=1
( − 1)
nz
nn arctan z =
∞
X
p=0
( − 1)
pz
2p+12p + 1 (1 + z)
α=
∞
X
n=1
α ( α − 1) · · · ( α − n + 1) z
nn!
5 Applications des s´eries enti`eres
Il y en a beaucoup d’applications des s´eries enti`eres, par exemple, elles permettent :
• de repr´esenter toutes les fonctions complexes d’une variable complexe qui sont d´erivables.
• d’exprimer les solutions de certaines ´equations diff´erentielles par leur s´erie de Taylor.
• d’exprimer les termes de suites v´erifiant certaines relations de r´ecurrence.
Exemple : Recherche des solutions de l’´equation diff´erentielle : x y
00(x) + y
0(x) + x y(x) = 0
d´eveloppables en s´erie enti`ere au voisinage de 0 :
y(x) = a
0+ a
1x + a
2x
2+ · · · + a
nx
n+ · · ·
x y(x) = a
0x + · · · + a
n−1x
n+ · · · y
0(x) = a
1+ 2a
2x + · · · + (n + 1)a
n+1x
n+ · · · x y
00(x) = 2a
2x + · · · + (n + 1)na
n+1x
n+ · · ·
a
1= 0 a
n−1+ (n + 1)
2a
n+1= 0 (n > 1)
a
0a
1= 0
a
0+ 4a
2= 0 a
1+ 9a
3= 0 a
2+ 16a
4= 0 a
3+ 25a
5= 0 a
4+ 36a
6= 0 a
5+ 49a
7= 0
. . . . . .
a
2p−2+ (2p)
2a
2p= 0 a
2p−1+ (2p + 1)
2a
2p+1= 0
a
2p= ( − 1)
pa
02
2× 4
2× 6
2× . . . × (2p)
2= ( − 1)
pa
02
2p(p!)
2a
2p+1= 0 y(x) = a
0
∞
X
p=0
