Sur la conjecture de Tate enti`ere pour les 1-cycles

Sur la conjecture de Tate enti` ere pour les 1-cycles Travail avec Federico Scavia (UBC, Vancouver)

Jean-Louis Colliot-Th´ el` ene (CNRS et Universit´ e Paris-Saclay)

Mardi 3 novembre 2020

Soient k un corps d’exposant caract´ eristique p et X une k-vari´ et´ e projective, lisse, g´ eom´ etriquement connexe. On utlise la

cohomologie ´ etale.

On a CH ¹ (X ) = Pic(X ) = H _Zar ¹ (X , G m ) = H ¹ (X , G m ).

Pour r premier ` a p , la suite de Kummer associ´ ee ` a x 7→ x ^r 1 → µ r → G m → G m → 1

donne une application Pic(X )/r = H ¹ (X , G m )/r → H ² (X , µ _r ).

Soit r = ` <sup>n</sup> , avec ` 6= p. En passant ` a la limite sur n, on obtient l’application cycle `-adique

Pic(X ) ⊗ Z ` → H <sup>2</sup> (X , Z ` (1)).

Vers 1960, Tate a conjectur´ e

(T ¹ ) Pour F un corps fini et X / F , pour ` 6= char( F ), l’application Pic(X ) ⊗ Z ` → H ² (X , Z ` (1))

est surjective.

Via la suite de Kummer, ceci est ´ equivalent ` a la finitude de la composante `-primaire Br(X ){`} du groupe de Brauer Br(X ) := H <sup>2</sup> (X , G m ) (finitude intimement li´ ee ` a la finitude conjectur´ ee des groupes de Tate–Shafarevich des vari´ et´ es ab´ eliennes sur un corps global F (C )).

La conjecture est connue pour les vari´ et´ es g´ eom´ etriquement

s´ eparablement unirationnelles, les vari´ et´ es ab´ eliennes (Tate) et

presque toutes les surfaces K 3.

Pour tout i ≥ 1, on a une application cycle `-adique CH <sup>i</sup> (X ) ⊗ Z ` → H ²ⁱ (X , Z ` (i )),

o` u CH <sup>i</sup> (X ) est le groupe de Chow des cycles de codimension i et H <sup>2i</sup> (X , Z ` (i)) est la limite projective des groupes finis H ²ⁱ (X , µ ^⊗i _`

).

C’est un Z ` -module de type fini.

Pour i > 1, Tate a aussi conjectur´ e que

CH ⁱ (X ) ⊗ Q ` → H <sup>2i</sup> (X , Q ` (i )) := H ²ⁱ (X , Z ` (i )) ⊗ _Z

Q `

est surjectif.

Pour i > 1, il y a des exemples o` u l’´ enonc´ e analogue T <sup>i</sup> avec les coefficients Z ` est en d´ efaut. Cependant, pour X de dimension d , c’est une question ouverte si la conjecture de Tate enti` ere

T 1 = T ^d−1 pour les 1-cycles vaut Hypoth` ese (T ₁ ) L’application

CH ^d−1 (X ) ⊗ Z ` → H <sup>2d−2</sup> (X , Z ` (d − 1)) est surjective.

Sous T ¹ pour X , le conoyau de l’application ci-dessus est fini

(Lefschetz).

Pour d = 2, T ₁ = T ¹ , conjecture de Tate originelle.

Dans la suite on notera T _surf ¹ la conjecture T ¹ pour la classe de toutes les surfaces.

La conjecture de Tate T ₁ pour les 1-cycles vaut pour toute vari´ et´ e proj. lisse de dimension d ≥ 3 si elle vaut pour toute vari´ et´ e proj.

lisse de dimension 3 (utiliser Bertini, puret´ e, Lefschetz affine) Pour X de dimension 3, T ₁ a ´ et´ e ´ etablie dans certains cas non triviaux.

• X fibr´ e en coniques sur une surface g´ eom´ etriquement r´ egl´ ee (Parimala et Suresh 2016).

• X produit d’une courbe de genre quelconque et d’une surface

g´ eom´ etriquement rationnelle (Pirutka 2016).

Soient F la clˆ oture alg´ ebrique de F et G = Gal( F / F ).

Th´ eor` eme (C. Schoen, 1998)

Supposons T _surf ¹ . Soit X /F projective, lisse, g´ eom. connexe de dimension quelconque. Soit X = X × _F F ). L’application

CH ^d−1 (X ) ⊗ Z ` → [

U⊂G

H ^2d−2 (X , Z ` (d − 1)) ^U ,

o` u U parcourt les sous-groupes ouverts de G , est surjective.

Pour les vari´ et´ es projectives et lisses X sur C, il y a une question parall` ele de surjectivit´ e pour les applications cycle

CH ⁱ (X ) → Hdg ²ⁱ (X , Z)

o` u Hdg ²ⁱ (X , Z ) ⊂ H _Betti ²ⁱ (X , Z ) est le sous-groupe des classes dont l’image est de Hodge dans H ²ⁱ (X , Q ).

La surjectivit´ e apr` es tensorisation avec Q est la conjecture de Hodge. Pour i = 1, elle vaut, aussi ` a coefficients entiers. Pour i = dim(X ) − 1, elle vaut ` a coefficients Q .

Pour i > 1, on a donn´ e de nombreux contre-exemples pour la

version enti` ere (` a coefficients Z ), mˆ eme pour dim(X ) = 3 et les

1-cycles (Koll´ ar).

Pour S une surface d’Enriques et C une courbe de genre g ≥ 1

“tr` es g´ en´ erale”, Benoist et Ottem (2018) ont montr´ e que la conjecture de Hodge enti` ere est en d´ efaut pour les 1-cycles sur X = C × S. La d´ emonstration utilise Pic (S)[2] = Z /2. On a ici H ² (X , O _X ) = 0, ρ = b ₂ , et Br(X ) = Z /2 est fini.

Supposons la conjecture de Tate T _surf ¹ . Soit X /k une vari´ et´ e projective et lisse sur la clˆ oture alg´ ebrique k d’un corps fini. Si la vari´ et´ e X satisfait Br(X ){`} fini, soit encore ρ = b <sub>2,`</sub> , le th´ eor` eme de Schoen implique que l’application cycle

CH ^d−1 (X ) ⊗ Z ` → H <sup>2d−2</sup> (X , Z ` (d − 1)) est surjective.

Sous T _surf ¹ , on n’a donc pas d’exemple X = C × S analogue ` a celui

de Benoist et Ottem sur la clˆ oture alg´ ebrique d’un corps fini. On

avait la mˆ eme observation pour l’exemple de Koll´ ar.

Qu’en est-il sur un corps fini ?

Theorem (CT-Scavia 2020). Soit F un corps fini, F une clˆ oture galoisienne, G = Gal(F/F). Soit C /F une courbe proj. et lisse, J sa jacobienne, et S/ F une surface d’Enriques. Soit X = C × _F S . Soit ` un premier, ` 6= p = char.( F ). Supposons T _surf ¹ .

Si ` 6= 2, ou si ` = 2 mais J(F) n’a pas de 2-torsion, alors

l’application CH ² (X ) ⊗ Z ` → H <sup>4</sup> (X , Z ` (2)) est surjective.

Nous ´ etablissons un th´ eor` eme g´ en´ eral (´ enonc´ e ` a la fin de l’expos´ e) pour le produit X = C × _F S d’une courbe C proj. et lisse et d’une surface S proj. et lisse qui est g´ eom´ etriquement CH 0 -triviale, c’est-` a-dire qui satisfait :

Sur tout corps alg´ ebriquement clos Ω contenant F , l’application degr´ e CH 0 (S Ω ) → Z est isomorphisme.

[Sous cette hypoth` ese, Pic(S _Ω ) = NS(S _Ω ) est un groupe ab´ elien

de type fini.]

Cohomologie non ramifi´ ee, cycles de codimension 2

Rappel de divers r´ esultats, en particulier de CT-Kahn 2013.

Soit M un module galoisien fini sur un corps k, d’ordre premier ` a la car. de k. Soit X une k-vari´ et´ e projective, lisse, int` egre, de corps des fonctions k(X ), et soit i ≥ 1 un entier. On d´ efinit

H _nr ⁱ (k(X ), M ) := Ker[H ⁱ (k (X ), M) → ⊕ _x∈X

H ⁱ⁻¹ (k (x), M(−1))]

Ici k(x) est le corps r´ esiduel en un point x ∈ X de codimension 1, la cohomologie est la cohomologie galoisienne, et les applications ` a droite sont les applications “r´ esidus”.

On s’int´ eresse au cas M = µ ^⊗j _`

= Z /` <sup>n</sup> (j ), donc M (−1) = µ <sup>⊗(j−1)</sup> <sub>`</sub>

,

et ` a Q ` /Z ` (j) = lim j µ <sup>⊗j</sup> <sub>`</sub>

, pour laquelle les groupes de cohomologie

sont les limites des groupes de cohomologie.

Le groupe H _nr ¹ (k(X ), Q ` / Z ` ) ∼ = H _et ¹ (X , Q ` / Z ` ) classifie les revˆ etements cycliques `-primaires de X .

Le groupe

H _nr ² (k (X ), Q ` / Z ` (1)) ∼ = Br(X ){`}

apparaˆıt dans l’´ etude de la conjecture de Tate sur les diviseurs.

Sa finitude pour X / F donn´ e est ´ equivalente ` a la conjecture

`-adique de Tate pour les cycles de codimension 1 sur X .

Le groupe H _nr ³ (k(X ), Q ` / Z ` (2)) apparaˆıt dans l’´ etude des cycles de codimension 2. Il est nul pour dim(X ) ≤ 2 (th´ eorie du corps de classes sup´ erieur, ann´ ees 1980).

Questions ouvertes : H _nr ³ ( F (X ), µ ^⊗2 _` ) est-il fini ?

(Question ´ equivalente : le quotient CH ² (X )/` est-il fini ?) H <sub>nr</sub> <sup>3</sup> ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) est-il de type cofini ?

H _nr ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) est-il fini ?

A-t-on H _nr ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) = 0 si dim(X ) = 3 ?

[Oui pour un fibr´ e en coniques sur une surface, Parimala–Suresh 2016]

Pour dim(X ) ≥ 5 on a des exemples avec

H _nr ³ (F(X ), Q ` /Z ` (2)) 6= 0 (Pirutka 2011).

Th´ eor` eme (Kahn 2012, CT-Kahn 2013) Pour X/ F lisse, projective de dimension quelconque, le sous-groupe de torsion du groupe (conjecturalement fini)

Coker[CH ² (X ) ⊗ Z ` → H <sup>4</sup> (X , Z ` (2))]

est isomorphe au quotient de H _nr ³ (F(X ), Q ` /Z ` (2)) par son sous-groupe divisible maximal.

Il y a un analogue pour la conjecture de Hodge enti` ere pour les

cycles de codimension 2 (CT-Voisin 2012).

Une suite exacte fondamentale (CT-Kahn 2013). Soient F une clˆ oture alg´ ebrique de F, X = X × _F F et G = Gal(F/F).

Pour toute vari´ et´ e X / F proj., lisse, g´ eom. connexe sur un corps fini F on a une longue suite exacte

0 → Ker[CH ² (X ){`} → CH <sup>2</sup> (X ){`}] → H ¹ ( F , H ² (X , Q ` / Z ` (2)))

→ Ker[H _nr ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) → H _nr ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2))]

→ Coker[CH ² (X ) → CH ² (X ) ^G ]{`} → 0.

La d´ emonstration repose sur des travaux de S. Bloch et sur le th´ eor` eme de Merkurjev-Suslin (1983). Via le th´ eor` eme de Deligne sur les conjectures de Weil, on a

H ¹ ( F , H ² (X , Q ` / Z ` (2))) = H ¹ ( F , H ³ (X , Z ` (2)) _tors )

et ce groupe est fini.

Pour X une courbe, tous les groupes dans la suite sont nuls.

Pour X une surface, H ³ (F(X ), Q ` /Z ` (2)) = 0.

Pour X / F une surface, on a l’´ enonc´ e non trivial H _nr ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) = 0.

(Corps de classes sup´ erieur, CT-Sansuc-Soul´ e, K. Kato, 1983).

Supposons : (*) Il existe une surface proj. lisse Y / F , un F -morphisme Y → X tel que tout corps alg´ ebriquement clos Ω contenant F , l’application CH ₀ (Y _Ω ) → CH ₀ (X _Ω ) est

surjective. (Satisfait pour le produit d’une Enriques et d’une courbe.)

Alors H _nr ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) et H _nr ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) sont finis, et on a un isomorphisme de groupes finis :

Coker[CH ² (X ) ⊗ Z ` → H <sup>4</sup> (X , Z ` (2))] ' H _nr ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)).

De plus, sous T _surf ¹ , du th´ eor` eme de Schoen on d´ eduit

H _nr ³ (F(X ), Q ` /Z ` (2)) = 0, et on a une suite exacte de groupes finis 0 → Ker[CH ² (X ){`} → CH <sup>2</sup> (X ){`}] → H ¹ ( F , H ³ (X , Z ` (2)) _tors )

θ

−→ H _nr ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) → Coker[CH ² (X ) → CH ² (X ) ^G ]{`} → 0.

Conclusion : Pour X un solide satisfaisant (*), sous l’hypoth` ese T <sub>surf</sub> <sup>1</sup> , la surjectivit´ e de CH <sup>2</sup> (X ) ⊗ Z ` → H ⁴ (X , Z ` (2)) (conjecture de Tate enti` ere pour les 1-cycles) est ´ equivalente ` a la combinaison des deux hypoth` eses :

Hypoth` ese 1

L’application compos´ ee

ρ _X : H ¹ ( F , H ² (X , Q ` / Z ` (2))) → H ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) of θ _X and H _nr ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) ⊂ H ³ ( F (X ), Q ` / Z ` (2)) est nulle.

Hypoth` ese 2 Coker[CH <sup>2</sup> (X ) → CH <sup>2</sup> (X ) <sup>G</sup> ]{`} = 0.

Nos r´ esultats

Sur l’Hypoth` ese 1

Hypoth` ese 1 L’application

ρ X : H ¹ (F, H ² (X , Q ` /Z ` (2))) → H ³ (F(X ), Q ` /Z ` (2)) est nulle.

Cette application est la compos´ ee de l’application de Hochschild-Serre

H ¹ ( F , H ² (X , Q ` / Z ` (2))) → H ³ (X , Q ` / Z ` (2)))

avec la restriction au point g´ en´ erique de X .

L’hypoth` ese 1 est ´ equivalente ` a chacune des hypoth` eses : Hypoth` ese 1a. L’application (injective) de

Ker[CH ² (X ){`} → CH <sup>2</sup> (X ){`}] dans le groupe fini

H ¹ ( F , H ² (X , Q ` / Z ` (2))) ' H ¹ ( F , H ³ (X , Z ` (2)) _tors ) est un isomorphisme.

Hypoth` ese 1b. Pour tout n ≥ 1, si une classe ξ ∈ H <sup>3</sup> (X , µ <sup>⊗2</sup> <sub>`</sub>

)

s’annule dans H ³ (X , µ ^⊗2 _`

), alors elle s’annule apr` es restriction ` a un

ouvert non vide convenable U ⊂ X .

Autant que nous sachions, les hypoth` eses 1,1a,1b pourraient valoir pour toute vari´ et´ e projective et lisse sur un corps fini.

Pour X de dimension > 2, on ne voit pas comment ´ etablir ces

´ enonc´ es directement – sauf bien sˆ ur quand on a H ³ (X , Z ` (2)) _tors = 0.

Le groupe H ³ (X , Z ` (1)) tors est le quotient de Br(X ){`} par son sous-groupe divisible maximal.

Le groupe fini H ¹ ( F , H ³ (X , Z ` (2)) <sub>tors</sub> ) est la partie la plus calculable de la suite exacte ` a 4 termes.

Par exemple, pour char( F ) 6= 2, ` = 2, X = E × _F S produit d’une

courbe elliptique E et d’une surface d’Enriques S, ce groupe est

isomorphe ` a E ( F )[2] ⊕ Z /2. Comment trouver des relev´ es dans

Ker[CH ² (X ){2} → CH ² (X ){2}] ?

Nous montrons :

Th´ eor` eme. Soient Y et Z deux vari´ et´ es projectives, lisses, g´ eom.

connexes sur un corps fini F . Soit X = Y × _F Z . Supposons que le

groupe de N´ eron-Severi de Z est libre, avec action triviale du

groupe de Galois. Si les applications ρ _Y et ρ _Z sont nulles, alors il

en est de mˆ eme de ρ _X .

On ´ etudie le comportement de H ¹ ( F , H ² (X , µ ^⊗2 _`

)) par restriction au point g´ en´ erique de X .

La d´ emonstration utilise une formule de K¨ unneth et des propri´ et´ es standard de la cohomologie galoisienne d’un corps fini.

C’est une formule de K¨ unneth inhabituelle, avec coefficients Z/` ⁿ , n > 1.

Qu’elle vaille pour H ² d’un produit de deux vari´ et´ es sur un corps alg´ ebriquement clos est un r´ esultat de Skorobogatov et Zarhin (2014), ´ etendu par Y. Cao (2020). (C’est utilis´ e dans un autre contexte – description de l’ensemble de Brauer-Manin pour un produit.)

Corollaire. Pour le produit d’une surface X et d’un nombre

quelconque de courbes, l’application ρ _X est nulle.

Sur l’Hypoth` ese 2

Hypoth` ese 2 Pour X de dimension 3, on a Coker[CH <sup>2</sup> (X ) → CH <sup>2</sup> (X ) <sup>G</sup> ]{`} = 0.

[Pour X de dimension au moins 5, A. Pirutka (2011) a donn´ e des

contre-exemples (fibr´ e en quadriques sur P ² _F ).]

On se restreint ici ` a la situation particuli` ere : C est une courbe, S est une surface g´ eom´ etriquement CH ₀ -triviale, et X = C × _F S . Notons K = F(C ) et L = F(C ).

On consid` ere la projection X = C × S → C , de fibre g´ en´ erique la K -surface S <sub>K</sub> . La restriction ` a la fibre g´ en´ erique d´ efinit une application naturelle de

Coker[CH ² (X ) → CH ² (X ) ^G ]{`}

vers

Coker[CH ² (S _K ) → CH ² (S _L ) ^G ]{`}.

En utilisant l’hypoth` ese que S est g´ eom´ etriquement CH <sub>0</sub> -triviale, ce qui implique b <sub>1</sub> = 0 and b <sub>2</sub> − ρ = 0 (b <sub>i</sub> (S ) nombre de Betti, ρ rang du groupe de N´ eron-Severi g´ eom´ etrique), on montre : Th´ eor` eme. La suite exacte naturelle de localisation

Pic(C ) ⊗ Pic(S) → CH ² (X ) → CH ² (S L ) → 0.

peut ˆ etre compl´ et´ e ` a gauche par un p-groupe fini.

Pour le voir, on utilise diverses correspondances sur X = C × S , over F . Images r´ eciproques, images directes, intersections :

Pic(C ) ⊗ Pic(S ) → Pic(X ) ⊗ Pic(X ) → CH ² (X )

CH ² (X )⊗Pic(S) → CH ² (X )⊗Pic(X ) → CH ³ (X ) = CH 0 (X ) → CH 0 (C ) Pic(C ) ⊗ Pic(S ) → CH ² (X ) = CH 1 (X ) → CH 1 (S) = Pic(S)

L’hypoth` ese sur S garantit que Pic(S ) = NS(S ) et que la forme

d’intersection sur NS(S) a son d´ eterminant qui est ± une

puissance de p.

Des propri´ et´ es non compl` etement standard des G -r´ eseaux pour G = Gal( F / F ) appliqu´ ees ` a la suite exacte (` a la p-torsion pr` es) de G-modules 0 → Pic(C ) ⊗ Pic(S ) → CH ² (X ) → CH ² (S _L ) → 0 donnent :

Th´ eor` eme. L’application naturelle

Coker[CH ² (X ) → CH ² (X ) ^G ]{`} → Coker[CH <sup>2</sup> (S K ) → CH <sup>2</sup> (S L ) <sup>G</sup> ]{`}

est un isomorphisme.

(Rappel : K = F (C ) et L = F (C ).)

Il faut donc contrˆ oler ce groupe. En utilisant l’hypoth` ese de CH 0 -trivialit´ e pour S, on voit qu’il co¨ıncide avec

Coker[CH ² (S _K ){`} → CH <sup>2</sup> (S <sub>L</sub> ){`} ^G ].

Pour une surface g´ eom´ etriquement CH ₀ -triviale sur L = F (C ), qui est un corps de dimension cohomologique 1, comme F, en utilisant le m´ ecanisme de K -th´ eorie, on ´ etablit une suite exacte similaire ` a la suite ` a 4 termes produite plus haut pour une vari´ et´ e sur le corps F . Dans le cas particulier de la surface constante S L = S × _F L, la partie gauche de cette suite donne une injection

0 → A 0 (S L ){`} → H <sub>Galois</sub> <sup>1</sup> (L, H <sup>3</sup> (S , Z ` (2){`})

o` u A ₀ (S _L ) ⊂ CH ² (S _L )est le sous-groupe des classes de z´ ero-cycles

de degr ´ e z´ ero sur la L-surface S L .

L’´ etude de cette situation sur les compl´ etions de F(C ) (Raskind 1989) et un argument de bonne r´ eduction dans le style de la d´ emonstration du th´ eor` eme de Mordell–Weil faible, et une identification des sous-groupes de torsion dans la cohomologie d’une surface sur un corps alg´ ebriquement clos donne alors un plongement galoisien

A ₀ (S _L ){`} , → Hom <sub>Z</sub> (Pic(S){`}, J(C )( F )), donc un plongement

A 0 (S L ){`} <sup>G</sup> , → Hom G (Pic(S ){`}, J(C )(F)).

Si ce groupe Hom _G (Pic(S ){`}, J(C )( F )) est nul, alors Coker[CH <sup>2</sup> (S K ){`} → CH ² (S L ){`} ^G ] = 0 et donc

Coker[CH ² (X ) → CH ² (X ) ^G ]{`} = 0,

ce qui est l’Hypoth` ese 2, et termine la d´ emonstration du th´ eor` eme :

Th´ eor` eme (CT/Scavia) Soit F un corps fini, G = Gal( F / F ). Soit ` un premier, ` 6= char.( F ). Soit C une courbe projective lisse g´ eom.

connexe sur F, soit J /F sa jacobienne, et soit S/F une surface proj. lisse, g´ eom. connexe, g´ eom´ etriquement CH ₀ -triviale. Soit X = C × _F S .

Supposons la conjecture de Tate usuelle pour les cycles de codimension 1 sur toute surface sur un corps fini.

Sous l’hypoth` ese

(∗∗) Hom _G (Pic(S

F ){`}, J( F )) = 0,

l’application cycle CH ² (X ) ⊗ Z ` → H <sub>et</sub> <sup>4</sup> (X , Z ` (2)) est surjective.

Question : La restriction (∗∗) est-elle n´ ecessaire ?

Cas concret

Soit p 6= 2 et soit E une courbe elliptique d´ efinie par une ´ equation y ² = P (x) avec P ∈ F [x] un polynˆ ome s´ eparable de degr´ e 3.

Soit S / F une surface d’Enriques. Alors Pic(S

F ) tors = Z /2, – avec action triviale du groupe de Galois.

L’hypoth` ese (∗∗) est ici : E( F )[2] = 0, ce qui se traduit par : P ∈ F [x] est un polynˆ ome irr´ eductible. .

Ainsi, pour p 6= 2 et P (x) ∈ F [x] r´ eductible, la conjecture de Tate

enti` ere T ₁ (X , Z 2 ) pour X = E × _F S reste ouverte.