Fonction
≪partie enti` ere
≫D´efinition: lapartie enti`ere inf´erieure du r´eelxest le plus grand relatif inf´erieur ou ´egal `ax; elle est not´ee
⌊x⌋. Nous avons donc :
k=⌊x⌋ ⇐⇒ k∈Z etk6x < k+ 1 Exemple —Nous avons⌊π⌋= 3,⌊−e⌋=−3 et⌊666⌋= 666.
Proposition: la fonction≪partie enti`ere≫est croissante.
Preuve: soientxet y deux r´eels, avec x6y. Notonsp=⌊x⌋et q=⌊y⌋. Alors p6x, donc p6 y. Ainsi,p estun relatif major´e pary, tandis queqest le plus grand relatif major´e pary. Doncp6q.
Proposition: soientx∈Ret k∈Z. Nous avons⌊x+k⌋=k+⌊x⌋.
Preuve: notonsp=⌊x⌋; alors p∈Zet p6x < p+ 1 ; doncp+k∈Zetp+k6 x+k < p+k+ 1. Ceci montre quep+kest la partie enti`ere dex+k.
On trouve dans la litt´erature francophone les notationsE(x) et [x] pour d´esigner la partie enti`ere dex.
Nous d´efinissons de fa¸con semblable lapartie enti`ere sup´erieure d’un r´eelx: c’est le plus petit relatif sup´erieur ou ´egal `ax. Il est not´e⌈x⌉, et est d´efini par :
k=⌈x⌉ ⇐⇒ k∈Z etk−1< x6k
Notons que⌊x⌋et⌈x⌉sont ´egaux ssix∈Z.
Exercice — Trouver une relation simple entre⌊x⌋et ⌈−x⌉.
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