A20076. R´ eel myst` ere
On note bxc la partie enti`ere du nombre r´eel x. Trouver un nombre r´eel a tel que, pour tout nentier positif, on ait
babnacc − bnac=n−1.
Solution
Faisons croˆıtren ind´efiniment. On a
0 = lim1
n = limn+bnac − babnacc
n = 1 +a−a2. Ainsiaest le nombre d’orϕ= 1,618. . .ou 1−ϕ=−1/ϕ.
Reste `a v´erifier si ces valeurs satisfont l’´enonc´e.
Sia= 1−ϕ etn= 1, bnac=−1,babnacc=b−ac= 0, babnacc − bnac= 16= 0 =n−1, ce qui ne convient pas.
Sia=ϕ= 1 + 1/ϕ, on a pour tout n
bϕbnϕcc − bnϕc=
bnϕc
ϕ
=n+
bnϕc −nϕ ϕ
Comme nϕ− bnϕc < 1 (propri´et´e de la partie enti`ere) et nϕ− bnϕc > 0 (in´egalit´e stricte carϕest irrationnel), on a bien bϕbnϕcc − bnϕc=n−1.
Le r´eel cherch´e est le nombre d’or, solution unique.
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